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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 375

due rette: esse sono le tre coppie de’ lati opposti , , del quadrangolo completo a cui sono circoscritte tutte le coniche proposte.

Se per un vertice del quadrangolo, ex. gr. per , si conduce un’arbitraria trasversale , essa sega ciascuna conica del fascio in un punto. Viceversa ogni punto della trasversale individua una conica del fascio, che viene ad essere determinata dal detto punto e dai quattro dati . Dunque il fascio di coniche e la punteggiata ch’esse segano sulla trasversale sono due forme geometriche projettive: in altre parole, il rapporto anarmonico de’ quattro punti in cui quattro date coniche del fascio segano una trasversale condotta per un punto-base è costante, qualunque sia la direzione della trasversale e qualunque sia il punto-base; ed invero quel rapporto anarmonico è eguale a quello delle quattro coniche (46).

Segue da ciò, che due trasversali , condotte ad arbitrio per due punti-base , rispettivamente, incontreranno le coniche del fascio in punti formanti due punteggiate projettive: purchè si assumano come corrispondenti que’ punti , ove una stessa conica è incontrata dalle due trasversali. Si osservi inoltre che in queste due punteggiate il punto d’incontro delle due trasversali corrisponde a sè stesso, perchè la conica del fascio determinata da quel punto incontra ivi entrambe le trasversali. Per conseguenza, ogni retta che unisca due punti corrispondenti delle punteggiate passa per un punto fisso (3, 60). Ogni retta condotta per segherà le due trasversali , in due punti situati in una stessa conica del fascio. Dunque: la retta (che insieme ad costituisce una conica del fascio) passa per ; il punto in cui sega ed il punto in cui sega sono in linea retta con ; e così pure, il punto in cui sega ed il punto in cui sega sono in una retta passante per .

64. Suppongasi ora che una conica sia individuata da cinque punti dati ; ed una seconda conica sia individuata dai punti pur dati . Le due coniche hanno tre punti comuni , , dati a priori; si vuol costruire il quarto punto comune , senza descrivere attualmente le coniche.

Si conducano le rette , e si chiamino rispettivamente , . La retta incontrerà la seconda conica in un punto che, in virtù del teorema di Pascal, si sa costruire senza delineare la curva. Così la retta incontrerà la prima conica in un punto . Le rette , concorrano in un punto . Sia il punto comune alle rette e ; ed quello ove si segano ed . Il punto comune alle ed sarà il richiesto. Questa costruzione è pienamente giustificata dalle cose esposte nel numero precedente1.


  1. Veggasi anche: Schröter, Problematis geometrici ad superficiem secundi ordinis per data puncta construendam spectantis solutio nova, Vratislaviæ 1862, p. 13. {Ed inoltre: Poncelet, Applications d’analyse et de géométrie, tome 2, Paris 1864, p. 77.}