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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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2.º Il numero delle curve della stessa rete aventi coll’anzidetta linea d’ordine $m$ un contatto tripunto è $3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$¹.

(c) Ogni punto della curva ${\rm {K}}$ è polo di una prima polare tangente a ${\rm {C_{m}}}$; onde, considerando le intersezioni delle curve ${\rm {K}}$ e ${\rm {C_{m}}}$, si ha:

In una curva ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e di $\chi$ cuspidi, vi sono $m^{2}(m+2n-5)-m(2\delta +3\chi )$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ toccano la medesima ${\rm {C_{m}}}$.

Di qui per $m=1$ si ricava:

In una retta qualunque vi sono $2(n-2)$ punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ toccano la retta medesima.

Se la retta è tangente a ${\rm {C_{n}}}$, nel contatto coincidono due di quei $2(n-2)$ poli. Dunque in una retta tangente a ${\rm {C_{n}}}$ esistono $2(n-3)$ punti, ciascun de’ quali è polo di una prima polare tangente in altro punto alla retta medesima.

(d) Se nella ricerca superiore, la curva ${\rm {C_{m}}}$ si confonde con ${\rm {C_{n}}}$, la linea ${\rm {K}}$ si compone evidentemente della ${\rm {C_{n}}}$ medesima e delle sue tangenti stazionarie, perchè ogni punto di quella e di queste è polo di una prima polare tangente alla curva fondamentale (71, 80). In tal caso, i punti doppi di ${\rm {K}}$ sono le intersezioni delle tangenti stazionarie fra loro e colla curva ${\rm {C_{n}}}$; le cuspidi di ${\rm {K}}$ sono rappresentate dai flessi di ${\rm {C_{n}}}$, ciascuno contato due volte; e le tangenti doppie di ${\rm {K}}$ sono le stazionarie e le doppie di ${\rm {C_{n}}}$.

I punti doppi di ${\rm {K}}$ sono (b) i poli d’altrettante prime polari doppiamente tangenti alla curva fondamentale. Ed invero: se $o$ è un punto comune a due tangenti stazionarie di questa, la prima polare di $o$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ ne’ due flessi corrispondenti (80); e se $o$ è un punto di segamento di ${\rm {C_{n}}}$ con una sua tangente stazionaria, la prima polare di $o$ tocca ${\rm {C_{n}}}$ in $o$ (71) e nel punto di contatto di questa tangente (80). Sonvi adunque $3n(n-2)(n-3)$ prime polari doppiamente tangenti a ${\rm {C_{n}}}$, i cui poli giacciono in ${\rm {C_{n}}}$ medesima; e vi sono altre ${\tfrac {3}{2}}n(n-2)(3n(n-2)-1)$ prime polari pur doppiamente tangenti, i cui poli sono fuori di ${\rm {C_{n}}}$.

(e) La curva ${\rm {K}}$, inviluppo delle polari $(n-1)$^me de’punti di ${\rm {C_{m}}}$, si chiamerà l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {C_{m}}}$².

Facendo $m=1$, troviamo che l’$(n-1)$^ma polare di una retta ${\rm {R}}$, cioè l’inviluppo delle rette polari de’ punti di ${\rm {R}}$, od anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti

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1. Bischoff, l. c. p. 174-176.
2. Occorre quindi nel seguito distinguere bene fra polare di un punto e polare di una curva.     [Einleitung]