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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/421

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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 407


2.º Il numero delle curve della stessa rete aventi coll’anzidetta linea d’ordine un contatto tripunto è 1.

(c) Ogni punto della curva è polo di una prima polare tangente a ; onde, considerando le intersezioni delle curve e , si ha:

In una curva dell’ordine , dotata di punti doppi e di cuspidi, vi sono punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale toccano la medesima .

Di qui per si ricava:

In una retta qualunque vi sono punti, le cui prime polari relative alla curva fondamentale toccano la retta medesima.

Se la retta è tangente a , nel contatto coincidono due di quei poli. Dunque in una retta tangente a esistono punti, ciascun de’ quali è polo di una prima polare tangente in altro punto alla retta medesima.

(d) Se nella ricerca superiore, la curva si confonde con , la linea si compone evidentemente della medesima e delle sue tangenti stazionarie, perchè ogni punto di quella e di queste è polo di una prima polare tangente alla curva fondamentale (71, 80). In tal caso, i punti doppi di sono le intersezioni delle tangenti stazionarie fra loro e colla curva ; le cuspidi di sono rappresentate dai flessi di , ciascuno contato due volte; e le tangenti doppie di sono le stazionarie e le doppie di .

I punti doppi di sono (b) i poli d’altrettante prime polari doppiamente tangenti alla curva fondamentale. Ed invero: se è un punto comune a due tangenti stazionarie di questa, la prima polare di tocca ne’ due flessi corrispondenti (80); e se è un punto di segamento di con una sua tangente stazionaria, la prima polare di tocca in (71) e nel punto di contatto di questa tangente (80). Sonvi adunque prime polari doppiamente tangenti a , i cui poli giacciono in medesima; e vi sono altre prime polari pur doppiamente tangenti, i cui poli sono fuori di .

(e) La curva , inviluppo delle polari me de’punti di , si chiamerà l’ma polare di 2.

Facendo , troviamo che l’ma polare di una retta , cioè l’inviluppo delle rette polari de’ punti di , od anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti


  1. Bischoff, l. c. p. 174-176.
  2. Occorre quindi nel seguito distinguere bene fra polare di un punto e polare di una curva.     [Einleitung]