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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

ad ${\rm {R}}$, è una curva della classe $n-1$ e dell’ordine $2(n-2)$, con $3(n-3)$ cuspidi, $2(n-3)(n-4)$ punti doppi ed ${\tfrac {(n-2)(n-3)}{2}}$ tangenti doppie; cioè:

Vi sono $3(n-3)$ prime polari, per le quali una data retta ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria; $2(n-3)(n-4)$ prime polari, per le quali ${\rm {R}}$ è una tangente doppia; ed inoltre ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in ${\rm {R}}$.

(f) Se l’$(n-1)$^ma polare della retta ${\rm {R}}$ passa per un dato punto $o$, questo è il polo di una prima polare tangente ad ${\rm {R}}$ (e); talchè se l’$(n-1)$^ma polare varia girando intorno al punto fisso $o$, la retta ${\rm {R}}$ invilupperà la prima polare di $o$. Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto:

La prima polare di un punto $o$ è il luogo de’ poli le cui $(n-1)$^me polari s’incrociano in $o$, ed è anche l’inviluppo delle rette le cui $(n-1)$^me polari passano per $o$.

104. Supposto che un polo $p$ percorra una data curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$, avente $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, di qual indice è la serie (34) generata dalla polare $(r)$^ma di $p$ rispetto alla linea fondamentale ${\rm {C_{n}}}$, e quale ne sarà l’inviluppo?

(a) Se la polare $(r)$^ma di $p$ passa per un punto $o$, il polo sarà nella polare $(n-r)$^ma di $o$ (69, a), cioè sarà una delle $rm$ intersezioni di questa polare colla proposta curva ${\rm {C_{m}}}$. Dunque per $o$ passano $rm$ polari $(r)$^me di punti situati in ${\rm {C_{m}}}$, cioè le polari $(r)$^me de’ punti di ${\rm {C_{m}}}$ formano una serie d’indice $rm$.

(b) Se l’$(n-r)$^ma polare di $o$ tocca in un punto ${\rm {C_{m}}}$, avremo in $o$ due $(r)$^me polari coincidenti, ossia $o$ sarà un punto della linea inviluppata dalle curve della serie anzidetta. Dunque:

L’inviluppo delle polari $(r)$^me de’ punti di una curva ${\rm {C_{m}}}$ è anche il luogo de’ poli delle polari $(n-r)$^me tangenti a ${\rm {C_{m}}}$.

(c) Quale è l’ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in una retta arbitraria ${\rm {L}}$, le polari $(n-r)$^me de’ quali tocchino ${\rm {C_{m}}}$? Le polari $(n-r)$^me de’ punti di una retta ${\rm {L}}$ formano (a) una serie d’ordine $r$ e d’indice $n-r$; epperò (87, c) ve ne sono $(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$ che toccano ${\rm {C_{m}}}$. Donde segue che:

L’inviluppo delle polari $(r)$^me de’ punti di una curva d’ordine $m$, dotata di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è una linea dell’ordine $(n-r)\left(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi )\right)$.

Questa linea si denominerà polare $(r)$^ma della data curva ${\rm {C_{m}}}$ rispetto alla curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$¹.

(d) Fatto $r=1$ ed indicata con $m'$ la classe di ${\rm {C_{m}}}$, cioè posto $m'=m(m-1)-(2\delta +3\chi )$ (99), si ha:

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1. Steiner, l. c. p. 2-3. — V. anche la nota **) alla pag. precedente.