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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/422

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408 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

ad , è una curva della classe e dell’ordine , con cuspidi, punti doppi ed tangenti doppie; cioè:

Vi sono prime polari, per le quali una data retta è una tangente stazionaria; prime polari, per le quali è una tangente doppia; ed inoltre rette, ciascuna delle quali ha due poli in .

(f) Se l’ma polare della retta passa per un dato punto , questo è il polo di una prima polare tangente ad (e); talchè se l’ma polare varia girando intorno al punto fisso , la retta invilupperà la prima polare di . Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto:

La prima polare di un punto è il luogo de’ poli le cui me polari s’incrociano in , ed è anche l’inviluppo delle rette le cui me polari passano per .

104. Supposto che un polo percorra una data curva d’ordine , avente punti doppi e cuspidi, di qual indice è la serie (34) generata dalla polare ma di rispetto alla linea fondamentale , e quale ne sarà l’inviluppo?

(a) Se la polare ma di passa per un punto , il polo sarà nella polare ma di (69, a), cioè sarà una delle intersezioni di questa polare colla proposta curva . Dunque per passano polari me di punti situati in , cioè le polari me de’ punti di formano una serie d’indice .

(b) Se l’ma polare di tocca in un punto , avremo in due me polari coincidenti, ossia sarà un punto della linea inviluppata dalle curve della serie anzidetta. Dunque:

L’inviluppo delle polari me de’ punti di una curva è anche il luogo de’ poli delle polari me tangenti a .

(c) Quale è l’ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in una retta arbitraria , le polari me de’ quali tocchino ? Le polari me de’ punti di una retta formano (a) una serie d’ordine e d’indice ; epperò (87, c) ve ne sono che toccano . Donde segue che:

L’inviluppo delle polari me de’ punti di una curva d’ordine , dotata di punti doppi e cuspidi, è una linea dell’ordine .

Questa linea si denominerà polare ma della data curva rispetto alla curva fondamentale 1.

(d) Fatto ed indicata con la classe di , cioè posto (99), si ha:


  1. Steiner, l. c. p. 2-3. — V. anche la nota **) alla pag. precedente.