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| 414 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
(e) Se di un quadrangolo completo sono dati i tre punti diagonali ed un vertice , il quadrangolo è determinato ed unico. Infatti, il vertice è il coniugato armonico di rispetto ai punti in cui segano ; ecc. Dunque le coniche passanti per uno stesso punto e coniugate ad un dato triangolo formano un fascio, ossia (92):
Tutte le coniche coniugate ad un dato triangolo formano una rete.
(f) Le curve di questa rete che dividono armonicamente un dato segmento formano un fascio. Infatti, se è un punto arbitrario, tutte le coniche della rete passanti per hanno altri tre punti comuni, epperò incontrano la retta in coppie di punti in involuzione (49). Ma anche le coppie di punti che dividono armonicamente costituiscono un’involuzione (25, a), e le due involuzioni hanno una coppia comune di punti coniugati; dunque per passa una sola conica della rete, la quale sodisfaccia alla condizione richiesta, c. d. d. In altre parole, la rete contiene un fascio di coniche, rispetto a ciascuna delle quali i punti sono poli coniugati.
In una rete due fasci hanno sempre una curva comune; dunque, se si cerca la conica della rete rispetto alla quale il punto sia coniugato sì ad che ad , cioè abbia per polare , il problema ammette una sola soluzione; vale a dire: vi è una sola conica, rispetto alla quale un dato triangolo sia coniugato, e un dato punto sia polo di una data retta.
(g) Siano due triangoli coniugati alla conica fondamentale; i punti in cui le rette segano ; quelli ove è incontrata dalle . Le polari de’ punti sono evidentemente le rette , che incontrano in . Ma il sistema di queste quattro rette e quello de’ loro poli hanno lo stesso rapporto anarmonico (107), dunque:
,
ossia (1):
;
vale a dire, le quattro rette incontrano le in due sistemi di quattro punti aventi lo stesso rapporto anarmonico. Dunque (60) i sei lati dei due triangoli proposti formano un esagono di Brianchon. Inoltre i due fasci di quattro rette , hanno lo stesso rapporto anarmonico, onde (59) i sei vertici de’ triangoli medesimi costituiscono un esagono di Pascal1. Ossia:
