Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Costruzione delle curve di second'ordine

by Luigi Cremona

Art. 11. Costruzione delle curve di second'ordine

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 11. Costruzione delle curve di second'ordine

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti

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Art. XI.

Costruzione delle curve di second’ordine.

59. Se nel teorema (50) si pone $n=n'=1$, si ha:

Date due stelle projettive, i cui centri siano i punti $o$, $o'$, il luogo del punto d’intersezione di due raggi corrispondenti è una curva di second’ordine passante pei punti $o$, $o'$.

Reciprocamente: siano $o$, $o'$ due punti fissati ad arbitrio sopra una curva di second’ordine; $m$ un punto variabile della medesima. Movendosi $m$ sulla curva, i raggi $om$, $o'm$ generano due stelle projettive. Quando $m$ è infinitamente vicino ad $o$, il raggio $om$ diviene tangente alla curva in $o$; dunque la tangente in $o$ è quel raggio della prima stella, che corrisponde alla retta $o'o$ considerata come appartenente alla seconda stella.

Da ciò scende immediata la costruzione della curva di second’ordine, della quale siano dati cinque punti $abcoo'$. Si assumano due di essi, $oo'$, come centri di due stelle projettive, nelle quali $(oa,\,o'a)$, $(ob,\,o'b)$, $(oc,\,o'c)$ siano tre coppie di raggi corrispondenti. Qualunque altro punto della curva sarà l’intersezione di due raggi corrispondenti di queste stelle (3). Del resto, questa costruzione coincide con quella che si deduce dal teorema di Pascal (45, c). La qual costruzione si applica, senza modificazioni, anche al caso in cui due de’ punti dati siano infinitamente vicini sopra una retta data, ossia in altre parole, al caso in cui la curva richiesta debba passare per quattro punti dati ed in uno di questi toccare una retta data; ecc.

Se nelle due stelle projettive, i cui centri sono $o$, $o'$, la retta $oo'$ corrisponde a sè medesima, ogni punto di essa è comune a due raggi corrispondenti (sovrapposti), epperò quella retta è parte del luogo di second’ordine generato dalle due stelle projettive. Dunque questo luogo è composto della $oo'$ e di un’altra retta, la quale conterrà le intersezioni de’ raggi corrispondenti delle due stelle (50, b).

60. Date due punteggiate projettive ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, di qual classe è la curva inviluppata dalla retta che unisce due punti corrispondenti? ossia, quante di tali rette passano per un punto arbitrario $o$? Consideriamo le due stelle che si ottengono unendo $o$ ai punti della retta ${\rm {A}}$ ed ai corrispondenti punti di ${\rm {A'}}$: tali stelle sono projettive alle due punteggiate, epperò projettive tra loro. Ogni retta che unisca due punti corrispondenti di ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ e passi per $o$, è evidentemente un raggio comune delle due stelle, cioè un raggio che coincide col proprio corrispondente. Ma due stelle projettive concentriche hanno due raggi comuni (10); dunque per $o$ passano due rette, ciascuna delle quali è una tangente dell’inviluppo di cui si tratta. Per conseguenza quest’inviluppo è di seconda classe.

Il punto comune alle due rette date si chiami $p$ o $q'$, secondo che si consideri come appartenente alla prima o alla seconda punteggiata; e siano $p'$, $q$ i punti corrispondenti a $p$, $q'$. Le rette $pp'(\mathrm {A'} )$ e $qq'(\mathrm {A} )$ saranno tangenti alla curva di seconda classe; dunque questa è tangente alle rette date.

Reciprocamente: due tangenti fisse qualunque ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ di una curva di seconda classe sono incontrate da una tangente variabile ${\rm {M}}$ della stessa curva in punti $a$, $a'$ che formano due punteggiate projettive. Quando ${\rm {M}}$ è prossima a confondersi con ${\rm {A}}$, $a$ è il punto in cui ${\rm {A}}$ tocca la curva; dunque ${\rm {A}}$ tocca la curva nel punto $q$ corrispondente al punto $q'$ di ${\rm {A'}}$, ove questa retta è segata da ${\rm {A}}$.

Di qui si deduce la costruzione, per tangenti, della curva di seconda classe determinata da cinque tangenti. Due di queste sono incontrate dalle altre tre in tre coppie di punti, i quali, assunti come corrispondenti, individuano due punteggiate projettive. Qualunque altra tangente della curva richiesta sarà determinata da due punti corrispondenti di queste punteggiate.

Se nelle due rette punteggiate projettive ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, il punto di segamento delle due rette corrisponde a sè medesimo, ogni retta condotta per esso unisce due punti corrispondenti (coincidenti); laonde quel punto è parte dell’inviluppo di seconda classe generato dalle due punteggiate. Cioè quest’inviluppo sarà composto del detto punto e di un secondo punto, pel quale passeranno tutte le rette congiungenti due punti corrispondenti delle punteggiate date (3).

61. Da un punto qualunque di una curva di seconda classe non può condursi alcuna retta a toccare altrove la curva (30), cioè una retta che tocchi la curva in un punto non può incontrarla in alcun altro punto. Dunque una curva di seconda classe è anche di second’ordine.

Analogamente si dimostra che una curva di second’ordine è anche di seconda classe. V’ha dunque identità fra le curve di second’ordine e quelle di seconda classe: a patto però che si considerino curve semplici. Perchè il sistema di due rette è bensì un luogo di second’ordine, ma non già una linea di seconda classe; e così pure, il sistema di due punti è un inviluppo di seconda classe, senz’essere un luogo di second’ordine.

Le curve di second’ordine e seconda classe si designano ordinariamente col nome di coniche.

62. Dal teorema (59) risulta che, se $abcd$ sono quattro punti dati di una conica ed $m$ un punto variabile della medesima, il rapporto anarmonico de’ quattro raggi $m(a,b,c,d)$ è costante, epperò eguale a quello delle rette $a(a,b,c,d)$, ove $aa$ esprime la retta che tocca la conica in $a$.

Reciprocamente: dati quattro punti $abcd$, il luogo di un punto $m$, tale che il rapporto anarmonico delle rette $m(a,b,c,d)$ abbia un valore dato $\lambda$, è una conica passante per $abcd$, la quale si costruisce assai facilmente. Infatti: se s’indica con $aa$ una retta condotta per $a$ e tale che il rapporto anarmonico delle quattro rette $a(a,b,c,d)$ sia eguale a $\lambda$, la conica richiesta sarà individuata dal dover passare per $abcd$ e toccare in $a$ la retta $aa$.

Il luogo geometrico qui considerato conduce alla soluzione del seguente problema:

Date cinque rette $o'(a',b',c',d',e')$ concorrenti in un punto $o'$ e dati cinque punti $abcde$, trovare un punto $o$ tale che il fascio di cinque rette $o(a,b,c,d,e)$ sia projettivo al fascio analogo $o'(a',b',c',d',e')$.

S’imagini la conica luogo di un punto $m$ tale che i due fasci $m(a,b,c,d)$, $o'(a',b',c',d')$ abbiano lo stesso rapporto anarmonico. E similmente si imagini la conica luogo di un punto $n$ tale che i due fasci $n(a,b,c,e)$, $o'(a',b',c',e')$ abbiano lo stesso rapporto anarmonico. La prima conica passa pei punti $abcd$; la seconda per $abce$; entrambe poi sono pienamente individuate.

Ora, siccome il richiesto punto $o$ dee possedere sì la proprietà del punto $m$ che quella del punto $n$, così esso sarà situato in entrambe le coniche. Queste hanno tre punti comuni $abc$ dati a priori; dunque la quarta loro intersezione sarà il punto domandato. Questo punto si costruisce senza previamente descrivere le due curve; come si mostrerà qui appresso.

63. Le coniche passanti per gli stessi quattro punti $abco$ formano un fascio di second’ordine. Fra quelle coniche ve ne sono tre, ciascuna delle quali è il sistema di due rette: esse sono le tre coppie de’ lati opposti $(bc,ao)$, $(ca,bo)$, $(ab,co)$ del quadrangolo completo a cui sono circoscritte tutte le coniche proposte.

Se per un vertice del quadrangolo, ex. gr. per $a$, si conduce un’arbitraria trasversale ${\rm {A}}$, essa sega ciascuna conica del fascio in un punto. Viceversa ogni punto della trasversale individua una conica del fascio, che viene ad essere determinata dal detto punto e dai quattro dati $abco$. Dunque il fascio di coniche e la punteggiata ch’esse segano sulla trasversale ${\rm {A}}$ sono due forme geometriche projettive: in altre parole, il rapporto anarmonico de’ quattro punti in cui quattro date coniche del fascio segano una trasversale condotta per un punto-base è costante, qualunque sia la direzione della trasversale e qualunque sia il punto-base; ed invero quel rapporto anarmonico è eguale a quello delle quattro coniche (46).

Segue da ciò, che due trasversali ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ condotte ad arbitrio per due punti-base $a$, $b$ rispettivamente, incontreranno le coniche del fascio in punti formanti due punteggiate projettive: purchè si assumano come corrispondenti que’ punti $m$, $m'$ ove una stessa conica è incontrata dalle due trasversali. Si osservi inoltre che in queste due punteggiate il punto d’incontro delle due trasversali corrisponde a sè stesso, perchè la conica del fascio determinata da quel punto incontra ivi entrambe le trasversali. Per conseguenza, ogni retta $mm'$ che unisca due punti corrispondenti delle punteggiate passa per un punto fisso $i$ (3, 60). Ogni retta condotta per $i$ segherà le due trasversali ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ in due punti situati in una stessa conica del fascio. Dunque: la retta $co$ (che insieme ad $ab$ costituisce una conica del fascio) passa per $i$; il punto in cui ${\rm {A}}$ sega $bc$ ed il punto in cui ${\rm {B}}$ sega $ao$ sono in linea retta con $i$; e così pure, il punto in cui ${\rm {A}}$ sega $bo$ ed il punto in cui ${\rm {B}}$ sega $ac$ sono in una retta passante per $i$.

64. Suppongasi ora che una conica sia individuata da cinque punti dati $abcdf$; ed una seconda conica sia individuata dai punti pur dati $abce'f'$. Le due coniche hanno tre punti comuni $a$, $b$, $c$ dati a priori; si vuol costruire il quarto punto comune $o$, senza descrivere attualmente le coniche.

Si conducano le rette $ad$, $be'$ e si chiamino rispettivamente ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$. La retta ${\rm {A}}$ incontrerà la seconda conica in un punto $e$ che, in virtù del teorema di Pascal, si sa costruire senza delineare la curva. Così la retta ${\rm {B}}$ incontrerà la prima conica in un punto $d'$. Le rette $dd'$, $ee'$ concorrano in un punto $i$. Sia $m$ il punto comune alle rette ${\rm {A}}$ e $bc$; ed $m'$ quello ove si segano ${\rm {B}}$ ed $im$. Il punto $o$ comune alle $am'$ ed $ic$ sarà il richiesto. Questa costruzione è pienamente giustificata dalle cose esposte nel numero precedente¹.

Note

1. Veggasi anche: Schröter, Problematis geometrici ad superficiem secundi ordinis per data puncta construendam spectantis solutio nova, Vratislaviæ 1862, p. 13. {Ed inoltre: Poncelet, Applications d’analyse et de géométrie, tome 2, Paris 1864, p. 77.}