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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

cubica imaginaria dell’unità negativa, cioè quando le quattro tangenti condotte da un punto della curva abbiano i tre rapporti anarmonici fondamentali eguali fra loro (27).

132. Se la conica polare di un punto $o$ è un pajo di rette che si seghino in $o'$, viceversa la conica polare di $o'$ è un pajo di rette incrociate in $o$ (78). Dunque il luogo de’ punti doppi delle coniche polari risolventisi in paja di rette è anche il luogo de’ loro poli, cioè la Steineriana e l’Hessiana sono una sola e medesima curva del terz’ordine (88, 90).

(a) Inoltre, siccome la retta $oo'$ tiene il luogo di due rette congiungenti due punti $o,o'$ dell’Hessiana ai corrispondenti punti $o',o$ della Steineriana, così l’inviluppo di $oo'$, che secondo il teorema generale (98, b) sarebbe della sesta classe, si ridurrà qui alla terza classe¹.

(b) I punti $o,o'$ sono poli coniugati rispetto ad una qualunque delle coniche polari (98, b), le quali costituiscono una rete geometrica del second’ordine. Dunque:

Il luogo delle coppie di poli coniugati relativi ad una rete di coniche è una curva di terz’ordine (l’Hessiana della rete)².

(c) Nella teoria generale è dimostrato che la Steineriana in un suo punto qualunque è toccata dalla retta polare del corrispondente punto dell’Hessiana (118), e che l’Hessiana è toccata in un suo punto qualunque dalla seconda polare del corrispondente punto della Steineriana (127, a). Nel caso della curva di terz’ordine, queste due proprietà si confondono in una sola, ed è che la tangente all’Hessiana in $o$ è la retta polare di $o'$; ossia:

L’Hessiana è l’inviluppo delle rette polari de’ suoi punti.

Questo teorema somministra le sei tangenti che arrivano all’Hessiana da un punto arbitrario $i$. Infatti, le rette polari passanti per $i$ hanno i loro poli nella conica polare di $i$, la quale incontra l’Hessiana in sei punti; ciascuno di questi ha per retta polare una tangente dell’Hessiana, concorrente in $i$. Naturalmente i punti di contatto di queste sei tangenti giacciono nella conica polare di $i$ relativa all’Hessiana.

133. Siano $o,o'$ (fig. 8.ª pag. 441) due poli coniugati (rispetto alle coniche polari); la conica polare di $o$ sarà il sistema di due rette $ab,\,cd$ concorrenti in $o'$, e la conica polare di $o'$ sarà formata da due altre rette $ad,\,bc$ incrociantisi in $o$. Se le due coniche polari si segano mutuamente in $abcd$, questi saranno (130, a) i poli della retta $oo'$, e le rette $ac,\,bd$, il cui punto comune sia $u$, formeranno la conica polare di un punto $u'$ situato nella retta $oo'$. Dunque $u,u'$ sono due nuovi poli coniugati; ed $u'$ è il terzo punto d’intersezione dell’Hessiana colla retta $oo'$.

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1. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre (Journal de M. Liouville, août 1844, p. 290).
2. Hesse, Ueber die Wendepuncte u. s. w. p. 105.