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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Quanto precede mette in evidenza che un flesso di una cubica ha, rispetto a questa ed alla sua polare armonica, le stesse proprietà^[1] che un punto qualunque possiede riguardo ad una conica ed alla sua retta polare (107). ⁹²

(b) Se tre rette segano la cubica data rispettivamente ne’ punti $i a a^{'}, j b b^{'}, l c c^{'}$ , e se $i j l, a b c$ giacciono in due rette, anche $a^{'} b^{'} c^{'}$ sono in linea retta (39, a). Supposto che i punti $i j l$ coincidano in un solo (flesso) $i$ , le due rette $a b c, a^{'} b^{'} c^{'}$ concorreranno, come or ora si è osservato, sulla polare armonica di $i$ . Se inoltre i punti $a b c$ coincidono in un punto unico, lo stesso avrà luogo de’ punti $a^{'} b^{'} c^{'}$ ; dunque:

La retta che unisce due flessi di una cubica sega questa in un terzo flesso^[2]. E le tangenti (stazionarie) in due qualunque di questi tre flessi concorrono sulla polare armonica del terzo.

(c) Da questo teorema e dalla definizione della polare armonica d’un flesso si raccoglie che, se $123$ sono tre flessi in linea retta, il punto coniugato armonico di $1$ rispetto a $23$ è situato nella polare armonica di $1$ , ecc.; e che per conseguenza le polari armoniche de’ flessi $123$ sono le rette che uniscono i vertici del trilatero formato dalle relative tangenti stazionarie, col polo della retta $123$ rispetto al trilatero medesimo (76).

(d) Il teorema “se tre flessi $123$ della cubica sono in linea retta, le loro polari armoniche $I_{1} I_{2} I_{3}$ concorrono in uno stesso punto„ può dimostrarsi anche così. Siano ${I_{1}}^{'} {I_{2}}^{'} {I_{3}}^{'}$ le tangenti (stazionarie) della cubica ne’ tre flessi nominati; le coppie di rette $I_{1} {I_{1}}^{'}, I_{2} {I_{2}}^{'}, I_{3} {I_{3}}^{'}$ sono le coniche polari de’ punti medesimi, e queste coniche devono essere circoscritte ad uno stesso quadrangolo, i cui vertici siano i poli della retta $123$ (130, a). Vale a dire, le rette $I_{3} {I_{3}}^{'}$ devono passare pei quattro punti ${I_{1}}^{'} I_{2}, {I_{1}}^{'} {I_{2}}^{'}, I_{1} I_{2}, I_{1} {I_{2}}^{'}$ . Ma le tangenti in due de’ flessi $123$ s’incontrano sulla polare armonica del terzo, ossia $I_{3}$ passa pel punto ${I_{1}}^{'} {I_{2}}^{'}$ ; dunque $I_{3}$ passerà anche pel punto $I_{1} I_{2}$ , c. d. d.

Di qui si raccoglie che i quattro poli di una retta che contenga tre flessi della cubica sono i vertici del trilatero formato dalle tre corrispondenti tangenti stazionarie, ed il punto di concorso delle polari armoniche de’ tre flessi^[3].

140. Tre trasversali condotte pel flesso $i$ seghino la data cubica nei punti $a a^{'}, b b^{'}, c c^{'}$ ; esse incontreranno la retta $I$ , polare armonica di $i$ , nei punti $α, β, γ$ coniugati armonici di $i$ rispetto alle coppie $a a^{'}, b b^{'}, c c^{'}$ . Ma gli stessi punti $α β γ$ giacciono anche nella conica polare di $i$ relativa a qualsivoglia cubica descritta pei sette punti $i a a^{'} b b^{'} c c^{'}$ (139). Dunque questa conica polare si risolve in due rette, una delle quali è $I$ ; vale a dire

↑ Chasles {Sur les courbes da 3^e et du 4^e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236)}, Aperçu historìque, p. 349.
↑ Maclaurin, l. c. p. 231.
↑ Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.

[1] Chasles {Sur les courbes da 3^e et du 4^e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236)}, Aperçu historìque, p. 349.

[2] Maclaurin, l. c. p. 231.

[3] Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.

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