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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Qui si offre immediatamente la ripartizione in tre diversi sistemi de’ quadrilateri completi inscritti in una cubica.

(c) Siano $aa_{1},bb_{2}$ due coppie di poli coniugati relative a due reti diverse; $\alpha$ il tangenziale di $a$ ed $a_{1}$; $\beta$ il tangenziale di $b$ e $b_{2}$. Siano $c,c_{3},\gamma$ le terze intersezioni della cubica colle rette $ab,a_{1}b_{2},\alpha \beta$; sarà $\gamma$ il tangenziale sì di $c$ che di $c_{3}$. Dunque $c,c_{3}$ sono due poli coniugati, relativi però alla terza rete (b). Così pure, se le rette $ab_{2},a_{1}b$ segano la cubica nei punti $c_{2},c_{1}$, questi sono poli coniugati rispetto alla terza rete medesima¹.

147. — Dato un punto $o$ ed un fascio di coniche circoscritte ad un quadrangolo $efgh$, quale è il luogo de’ punti di contatto delle tangenti condotte da $o$ a queste coniche? Siccome per $o$ si può condurre una conica del fascio e quindi ad essa la tangente in $o$, così il luogo richiesto passa per $o$. Oltre ad $o$, ogni trasversale tirata per questo punto ne contiene altri due del luogo, e sono i punti doppi dell’involuzione che le coniche del fascio determinano sulla trasversale (49). Dunque il luogo richiesto è una cubica, la quale passa anche per $efgh$, poichè si può descrivere una conica del fascio che tocchi $oe$ in $e$, ovvero $of$ in $f$, ecc.

Ciascuna conica del fascio sega la cubica in altri due punti $m,m'$ (oltre $efgh$), che sono quelli ove la conica tocca le tangenti condotte per $o$. La retta $mm'$, polare di $o$ rispetto alla conica, passa per un punto fisso $u$ (il punto opposto ai quattro $efgh$) (65). Quando la conica passa per $o$, i due punti $mm'$ coincidono in $o$; laonde questa conica tocca la cubica in $o$, ed $u$ è il tangenziale di $o$.

Fra le coniche del fascio vi sono tre sistemi di due rette, e sono le coppie di lati opposti $(ef,gh)$, $(eg,fh)$, $(eh,fg)$ del quadrangolo dato; per ciascuno di essi i punti $mm'$ coincidono nel relativo punto diagonale. Donde segue che i punti diagonali $o'o''o'''$ del quadrangolo appartengono alla cubica, e le tangenti in questi punti concorrono in $u$.

Siccome le rette $o(e,f,g,h)$ sono tangenti alla cubica in $e,f,g,h$, così la conica determinata dai cinque punti $oefgh$ è la prima polare del punto $o$ rispetto alla cubica medesima. Analogamente la conica $uoo'o''o'''$ è la prima polare di $u$.

148. Sia $o$ un punto qualunque di una data cubica ${\rm {C_{3}}}$, ed $u$ il tangenziale di $o$. Se ${\rm {K_{3}}}$ è una cubica, la cui Hessiana sia ${\rm {C_{3}}}$, la conica polare di $u$ rispetto a ${\rm {K_{3}}}$ è un pajo di rette, una delle quali passa per $o$ (133, b); dunque la retta polare di $o$ rispetto a ${\rm {K_{3}}}$ passa per $u$. Ma $u$ giace anche nella retta polare di $o$ relativa a ${\rm {C_{3}}}$, giacchè quest’ultima curva è toccata in $o$ dalla retta $ou$; dunque in $u$ concorreranno le rette polari di $o$, relative a tutte le cubiche descritte pei punti comuni a ${\rm {C_{3}}}$ e ${\rm {K_{3}}}$ (84, c), ossia:

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1. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung und die Kegelschnitte, welche diese Curven in drei verschiedenen Puncten berühren (Giornale di Crelle, t. 36, Berlino 1848, p. 148-152).