Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/472

458

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Se una retta tocca una cubica in un punto $o$ e la sega in un altro punto $u$, le rette polari di $o$, rispetto alle cubiche sizigetiche colla data, passano tutte per $u$¹².

(a) Siano $oo'o''o'''$ i punti di contatto delle tangenti condotte alla cubica data dal punto $u$; pel teorema precedente, $u$ giace nelle rette polari di ciascuno dei quattro punti suddetti, rispetto a tutte le cubiche sizigetiche. Dunque le coniche polari di $u$ rispetto alle cubiche medesime passeranno per $oo'o''o'''$³.

Le tre coppie di lati opposti del quadrangolo $oo'o''o'''$ sono le coniche polari di $u$ rispetto a quelle tre curve sizigetiche la cui Hessiana è ${\rm {C_{3}}}$, epperò saranno tangenti alle tre corrispondenti Cayleyane.

(b) Si noti inoltre che $o'o''o'''$ sono i punti diagonali del quadrangolo formato dai quattro punti di contatto delle tangenti condotte alla cubica data dal punto $o$ (146, a); dunque $o'$ è il polo della retta $o''o'''$ rispetto alle coniche polari di $o$ relative a tutte le cubiche sizigetiche (108, b); ecc.

149. Siano $\alpha \beta \gamma$ i tre punti in cui una retta sega una data cubica, ed $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$, $b_{0}b_{1}b_{2}b_{3}$, $c_{0}c_{1}c_{2}c_{3}$ i punti di contatto delle tangenti che da quelli si possono condurre alla curva. Siccome i tangenziali di tre punti in linea retta sono pur essi in linea retta, così la retta che unisce uno de’ punti $a$ con uno de’ punti $b$ passerà necessariamente per uno de’ punti $c$; epperò i dodici punti $abc$ giacciono a tre a tre in sedici rette⁴.

Siano $a_{0}b_{0}c_{0}$ tre punti scelti fra quei dodici in modo che siano allineati sopra una retta; e siano $a_{1}b_{1}c_{1}$, $a_{2}b_{2}c_{2}$, $a_{3}b_{3}c_{3}$ i punti corrispondenti a quelli rispettivamente nelle tre reti di coniche, alle quali dà nascimento la data cubica considerata come Hessiana (146). Pel teorema (134) sono in linea retta le terne di punti:

$a_{0}b_{1}c_{1}$,	$b_{0}c_{1}a_{1}$,	$c_{0}a_{1}b_{1}$,
$a_{0}b_{2}c_{2}$,	$b_{0}c_{2}a_{2}$,	$c_{0}a_{2}b_{2}$,
$a_{0}b_{3}c_{3}$,	$b_{0}c_{3}a_{3}$,	$c_{0}a_{3}b_{3}$,

oltre ad

$a_{0}b_{0}c_{0}$.

---

1. Salmon, On curves of the third order, p. 535.
2. {Dal teorema (132, c) segue che, condotte per $u$ le altre tre tangenti a ${\rm {C_{3}}}$, queste sono le rette polari di $o$ rispetto alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è la Hessiana. Cioè le quattro tangenti che da un punto $u$ di una cubica ${\rm {C_{3}}}$ si posson condurre a questa sono le rette polari di uno dei punti di contatto, rispetto a ${\rm {C_{3}}}$ ed alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è Hessiana. Il rapporto anarmonico delle quattro tangenti è quindi uguale a quello delle quattro cubiche: donde si cava una nuova dimostrazione della costanza del rapporto anarmonico delle quattro tangenti, al variare di $u$ (131).
   Se $o$ è un flesso di ${\rm {C_{3}}}$, segue dal teorema precedente che le tre rette che da $o$ si possono condurre a toccare ${\rm {C_{3}}}$ altrove sono le tangenti (stazionarie) in $o$ alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è l’Hessiana: il che s’accorda col teorema 141.}
3. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 443.
4. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 272.