|
introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
459 |
E pel teorema (
146, c) sono in linea retta anche le terne:
,
|
,
|
,
|
,
|
,
|
.
|
Queste sedici rette si possono aggruppare in otto sistemi di quattro rette ciascuno, le quali contengano tutt’i dodici punti di contatto1.
(a) I punti
, che corrispondono ad
rispetto ad una medesima rete, sono i vertici di un triangolo i cui lati passano ordinatamente per
, (134), e sono anche i punti di contatto della cubica colla poloconica della retta
, relativa a quella rete (137). Dunque (39) le rette che uniscono i punti
ai vertici del triangolo formato dalle tre tangenti
concorreranno in uno stesso punto942.
È superfluo accennare che la stessa proprietà compete ai punti
,
che sono i corrispondenti di
rispetto alle altre due reti.
(b) Le rette
s’incontrano sulla data curva in
, onde questa passa sì pei punti comuni ai due sistemi di tre rette
,
, sì pei punti comuni agli altri due analoghi sistemi
,
. Saravvi adunque (50, b) un luogo di terz’ordine soddisfacente alla duplice condizione di passare pei punti comuni ai due sistemi
,
e di contenere le intersezioni dei due sistemi
,
. Queste due condizioni sono appunto sodisfatte dal sistema di tre rette
, ove
indica il punto comune alle rette
, ed
il punto ove si segano le
. D’altronde, qualunque luogo di terz’ordine appartenente al fascio determinato dai due sistemi
,
non può essere altrimenti composto che della retta
e di un pajo di rette coniugate nell’involuzione quadratica i cui raggi doppi sono
3. Dunque la retta
passa pel punto
4 ed è coniugata armonica di
rispetto alle
(25, a).
(c) Per la stessa ragione, se
incontra
in
, e se
incontra
in
, le rette
,
passano per
. Laonde, rappresentato con
il punto comune alle
, i due sistemi di quattro punti
,
avranno eguali rapporti anarmonici, imperocchè essi risultano dal segare colle due trasversali
,
uno stesso fascio di quattro rette concorrenti in
.
- ↑ Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u. s. w. p. 153.93
- ↑ Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 46.
- ↑ Se le coniche d’un fascio hanno un punto doppio comune
, cioè se ciascuna di esse consta di due rette incrociate in
, tutte le analoghe coppie di rette formano evidentemente un’involuzione, i cui raggi doppi rappresentano le due linee del fascio per le quali
è una cuspide (48).
- ↑ {Poichè la retta
passa per
, ne segue che l’esagono
è inscritto in una conica (S. Roberts, Ed. Times, ottobre 1868).}