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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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Il termine $\Delta E=E-E_{\mathrm {O} }$ rappresenta la massima energia che viene ceduta nell’urto totalmente anelastico. Da queste espressioni relativistiche e dalle precedenti relazioni matematiche ricaveremo le equazioni d’onda relative alle quattro teorie che trattano di onde progressive nel vuoto. Vi sono più modi possibili per ottenere le equazioni d’onda, tuttavia applicheremo un solo procedimento dal quale si evince che hanno tutte la stessa origine relativistica, e rappresentano quindi proprietà elettromagnetiche dello spazio-tempo fisico.

TRE STORICHE EQUAZIONI

EQUAZIONE DI D’ALEMBERT - (Elettromagnetismo).

Consideriamo la relazione: $\Delta E^{2}-c^{2}p^{2}=-2mc^{2}\Delta E$.

Si sostituiscono i parametri del fotone $\Delta E\rightarrow W,$ $p\rightarrow p,$ $m=0$:

$W^{2}-c^{2}p^{2}=0$.

Essendo $W=\hbar \omega$ e $p=\hbar k$, si ricava la relazione di dispersione della radiazione nel vuoto:

$\omega ^{2}-c^{2}k^{2}=0$.

Sostituendo le espressioni differenziali di $\omega ^{2}$ e $k^{2}$, si ottiene subito

l’equazione di d’Alembert:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi -\nabla \Psi =0$.

Con l’operatore di d’Alembert ($\Box$) abbiamo la forma compatta:

$\Box \Psi =0$.

Questo risultato deriva in ultima analisi dalla legge di Planck e dalla teoria della Relatività. Si ottiene la stesso risultato partendo direttamente dalla espressione della velocità di fase elettromagnetica nel vuoto $\omega /k=c$, ma questo ed altri procedimenti simili non evidenziano il legame diretto con la Relatività che ritroveremo per tutte le equazioni d’onda.