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I FONDAMENTI

TRASFORMATE DEL FATTORE DI LORENTZ

Dal fattore di Lorentz si ricavano alcune relazioni molto utili:

	$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left(u/c\right)^{2}}}}$	$\implies$	$\gamma ^{2}\left(1-u^{2}/c^{2}\right)=1$
$\implies$	$c^{2}\left(\gamma ^{2}-1\right)=u^{2}\gamma ^{2}$	$\implies$	$c^{2}\left(\gamma -1\right)={\frac {u^{2}\gamma ^{2}}{\gamma +1}}$

Riprendiamo ora l’espressione:	$u'={\frac {u-U}{1-uU/c^{2}}}$.
Scambiando u ed U si ottiene:	$U'={\frac {U-u}{1-uU/c^{2}}}=-u'$.

Notiamo che u ed U sono indipendenti, mentre risulta $u'=-U'$. Essendo u’ è la velocità dell’oggetto rispetto al riferimento S’, segue che U’ è la velocità di S’ rispetto all’oggetto.

Per la velocità U il fattori di Lorentz è: $\Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left(U/c\right)^{2}}}}$

La trasformazione del fattore $\gamma$ rispetto al riferimento S’ è:

$\gamma '={\frac {1}{\sqrt {1-\left(u'/c\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {u-U}{1-uU/c^{2}}}\right)^{2}}}}=$

${\frac {1-uU/c^{2}}{\sqrt {\left(1-{\frac {uU}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {u-U}{c}}\right)^{2}}}}={\frac {1-uU/c^{2}}{\sqrt {\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}}}=$