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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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QUADRI-VELOCITÀ OPERAZIONALE

Dividiamo il raggio-vettore operazionale $\mathbf {R} \left[\mathbf {u} \gamma \tau ;ic\tau \left(\gamma -1\right)\right]$ per il tempo proprio $\tau$, si ottiene così la quadri-velocità operazionale:

$\mathbf {U} \left[\mathbf {u} \gamma ;ic\left(\gamma -1\right)\right]$

La forma differenziale non è necessaria perché nel moto inerziale la velocità è costante. La convergenza naturale si verifica subito, infatti per $u\rightarrow 0$ abbiamo $\mathbf {U} \rightarrow \mathbf {u}$. Il modulo si ricava dal rapporto $\left|\mathbf {R} \right|/\tau$:

$\left|\mathbf {U} \right|=c{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=u\gamma {\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$.

Per ottenere la trasformazione $\mathbf {U} '=\mathbf {R} '/\tau$ si divide per il tempo proprio $\tau$ l’espressione di $\mathbf {R} '\left(\Delta x';ic\Delta t'\right)$:

$\mathbf {U} '\equiv \Gamma \left\{\left[u\gamma -U\left(\gamma -1\right)\right];ic\left[\left(\gamma -1\right)-\gamma {\frac {uU}{c^{2}}}\right]\right\}$.

La verifica dell’invarianza è immediata:

$\left|\mathbf {U} '\right|=\left|\mathbf {R} '\right|/\tau '=\left|\mathbf {R} \right|/\tau =\left|\mathbf {U} \right|$.

Consideriamo i valori limite:

- per	$u\rightarrow 0$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {U} \right|\rightarrow u$
- per	$u\rightarrow c$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {U} \right|\rightarrow c{\sqrt {2\gamma }}\rightarrow \infty$.

La prima relazione prova la convergenza relativistica naturale, quindi abbiamo piena compatibilità con tutti i criteri di validazione. La seconda mostra che mentre nello spazio tridimensionale la velocità tende a $c$, nello spazio-tempo fisico la quadri-velocità diventa infinita.