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ulisse dini

e quindi, pel teorema precedente, se ne concluderà appunto che la serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{p-1}S_{n}(\log ^{p}S_{n})^{1+\mu }}},$

è divergente se $\mu$ è negativa o nulla.

Pel caso poi di $\mu$ positiva, si osserverà che dalla stessa relazione (a) si hanno le seguenti

${\begin{aligned}S_{n}'&<\log eS_{n}<e\log S_{n},\\S_{n}''&<\log eS'_{n}<e^{2}\log ^{2}S_{n},\\S_{n}'''&<\log eS''_{n}<e^{3}\log ^{3}S_{n},\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\S_{n}^{p}&<\log eS_{n}^{p-1}<e^{p}\log ^{p}S_{n};\end{aligned}}$

e quindi se ne concluderà che quando la serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}S''_{n}\cdots (S_{n}^{p})^{1+\mu }}},$

è convergente, lo sarà pure la serie

${\frac {1}{e^{1+2+3+\cdot +(p-1)+p(1+\mu )}}}\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{p-1}S_{n}(\log ^{p}S_{n})^{1+\mu }}},$

ovvero la serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{p-1}S_{n}(\log ^{p}S_{n})^{1+\mu }}};$

e questo (num. 7) completa evidentemente il teorema.

9. Prendendo nel teorema precedente $u_{n}=1$, con che $\sum u_{n}$ è divergente, e $S_{n}=n$, se ne conclude subito il teorema noto che: La serie

$\sum {\frac {1}{n~\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}n(\mathrm {Log} ^{p}n)^{1+\mu }}},$

è convergente se $\mu$ è positivo e divergente se $\mu$ è negativo o nullo.