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sulle serie a termini positivi

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10. Se $\varphi (n)$ è una funzione positiva di $n$ tale che la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia divergente, e se $\sum u_{n}$ è una serie convergente, si avrà necessariamente

$\lim \varphi (n)u_{n}=0.$

Si ponga infatti

$\sigma _{n}={\frac {1}{\varphi (1)}}+{\frac {1}{\varphi (2)}}+\cdots +{\frac {1}{\varphi (n)}},$

e si prenda nel criterio del numero 1

$k_{n}={\frac {1}{\sigma _{n}}};$

si avrà

$h_{n}={\frac {1}{\varphi (n+1)u_{n+1}\sigma _{n}\sigma _{n+1}}},$

e quindi

$m_{n}=\varphi (n+1)u_{n+1}\sigma _{n+1}$

e poichè se $\sum u_{n}$ è convergente si deve avere $\lim m_{n}=0$, d’altronde $\lim \sigma _{n}=\infty$, se ne conclude appunto che dovrà essere

$\lim \varphi (n)u_{n}=0.$

Questa condizione $\lim \varphi (n)u_{n}=0$ è dunque una condizione necessaria per la convergenza di una serie $\sum u_{n}$, e noi vediamo perciò in particolare, pel teorema del numero 9, che: Se $\sum u_{n}$ è una serie convergente si avrà necessariamente

$\lim nu_{n}=0,\qquad \lim nu_{n}\mathrm {Log} ~n=0,$

$\lim nu_{n}\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n=0,\ldots ,\lim nu_{n}\mathrm {Log} ~n\cdots \mathrm {Log} ^{p}n=0;$

e quindi, se per una serie $\sum u_{n}$ si troverà che queste condizioni non sono soddisfatte si potrà subito affermare che la serie $\sum u_{n}$ è divergente.

11. Se $\psi (n)$ è una funzione positiva di $n$ tale che la serie $\sum {\frac {1}{\psi (n)}}$ sia convergente, la serie $\sum u_{n}$ sarà pure convergente se

$\lim \psi (n)u_{n},$

non è infinito¹.

1. Questo teorema e il precedente sono facilissimi a dimostrarsi anche per altra via. Dandoli qui, io ho creduto bene di dedurli dal teorema del numero 1.