Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/11

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sulle serie a termini positivi 39


10. Se è una funzione positiva di tale che la serie sia divergente, e se è una serie convergente, si avrà necessariamente


Si ponga infatti


e si prenda nel criterio del numero 1


si avrà


e quindi


e poichè se è convergente si deve avere , d’altronde , se ne conclude appunto che dovrà essere


Questa condizione è dunque una condizione necessaria per la convergenza di una serie , e noi vediamo perciò in particolare, pel teorema del numero 9, che: Se è una serie convergente si avrà necessariamente


e quindi, se per una serie si troverà che queste condizioni non sono soddisfatte si potrà subito affermare che la serie è divergente.


11. Se è una funzione positiva di tale che la serie sia convergente, la serie sarà pure convergente se


non è infinito1.

  1. Questo teorema e il precedente sono facilissimi a dimostrarsi anche per altra via. Dandoli qui, io ho creduto bene di dedurli dal teorema del numero 1.