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sulle serie a termini positivi

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termini di questa serie, e si pone

${\begin{cases}\displaystyle \lambda _{0}&={\dfrac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)}}\right\}}{\sigma _{n}}},\\\\\lambda _{1}&={\dfrac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}}}\right\}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}},\\\\\lambda _{2}&={\dfrac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}\right\}}{\mathrm {Log} ^{2}\sigma _{n}}},\\\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\\lambda _{r}&={\dfrac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{r-1}\sigma _{n}}}\right\}}{\mathrm {Log} ^{r}\sigma _{n}}},\\\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{cases}}$

(2)

ove la base dei logaritmi è maggiore dell'unità; la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente o divergente secondo che la prima delle quantità $\lambda$ che non si annulla per $n=\infty$ è positiva o negativa. E si potrà anche affermare che la serie $\sum u_{n}$ sarà divergente se prima di trovare una quantità $\lambda$ il cui limite sia differente da zero se ne troverà una che è sempre negativa fuori del limite.

Osserviamo prima di tutto che qui si ritiene che le quantità $\lambda$, a partire da un certo valore di $n$ col crescere indefinitamente di $n$, conservino sempre uno stesso segno, poichè se ciò non avvenisse, i loro limiti avrebbero un segno indeterminato o sarebbero nulli e il criterio lascerebbe quindi nel dubbio.

Ciò posto, ricordiamo che, siccome la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ è divergente, la serie

(3)

$\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}(\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n})^{1+\mu }}}$

sarà convergente se $\mu >0$, e divergente se $\mu \leq 0$ (numero 8); e quindi affinchè $\sum u_{n}$ sia convergente, sarà necessario che si abbia (numero 10)

$\lim\{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}\}=0,$

qualunque sia $p$.