Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/13

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sulle serie a termini positivi 41

termini di questa serie, e si pone

(2)
ove la base dei logaritmi è maggiore dell'unità; la serie sarà convergente o divergente secondo che la prima delle quantità che non si annulla per è positiva o negativa. E si potrà anche affermare che la serie sarà divergente se prima di trovare una quantità il cui limite sia differente da zero se ne troverà una che è sempre negativa fuori del limite.

Osserviamo prima di tutto che qui si ritiene che le quantità , a partire da un certo valore di col crescere indefinitamente di , conservino sempre uno stesso segno, poichè se ciò non avvenisse, i loro limiti avrebbero un segno indeterminato o sarebbero nulli e il criterio lascerebbe quindi nel dubbio.

Ciò posto, ricordiamo che, siccome la serie è divergente, la serie

(3)
sarà convergente se , e divergente se (numero 8); e quindi affinchè sia convergente, sarà necessario che si abbia (numero 10)


qualunque sia .