Da questo evidentemente risulta subito la parte del teorema relativa alla divergenza di , giacchè se per es. avrà un limite negativo, o sarà sempre negativo fuori del limite, ciò vorrà dire che a partire da un certo valore di fino all’infinito la quantità sotto il logaritmo del numeratore di sarà minore dell’unità, e quindi l’espressione
non avrà per limite zero, e
sarà perciò divergente.
Resta a dimostrarsi la parte del teorema relativa alla convergenza di .
Per dimostrarla intanto per osserviamo dapprima che se è sempre positiva e non tende a zero indicando con una quantità positiva e sufficientemente piccola, a partire da un certo valore di si avrà
Ma per sufficientemente grande si ha
ovvero
giacchè il rapporto cresce indefinitamente con 1; dunque sarà
- ↑ Questo si vede in una maniera semplicissima così: Si osservi che la serie è convergente, mentre la serie è divergente (num. 8); se ne dedurrà subito (numero 10) che
ciò che mostra appunto che cresce indefinitamente con .
Così pure si troverebbe che
,
, qualunque sia la costante
purchè positiva.