Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/14

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42 ulisse dini


Da questo evidentemente risulta subito la parte del teorema relativa alla divergenza di , giacchè se per es. avrà un limite negativo, o sarà sempre negativo fuori del limite, ciò vorrà dire che a partire da un certo valore di fino all’infinito la quantità sotto il logaritmo del numeratore di sarà minore dell’unità, e quindi l’espressione

non avrà per limite zero, e sarà perciò divergente.

Resta a dimostrarsi la parte del teorema relativa alla convergenza di .

Per dimostrarla intanto per osserviamo dapprima che se è sempre positiva e non tende a zero indicando con una quantità positiva e sufficientemente piccola, a partire da un certo valore di si avrà


Ma per sufficientemente grande si ha

ovvero


giacchè il rapporto cresce indefinitamente con 1; dunque sarà

  1. Questo si vede in una maniera semplicissima così: Si osservi che la serie è convergente, mentre la serie è divergente (num. 8); se ne dedurrà subito (numero 10) che


    ciò che mostra appunto che cresce indefinitamente con .

    Così pure si troverebbe che , , qualunque sia la costante purchè positiva.