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ulisse dini

${\begin{aligned}\lambda _{0}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{u_{n}}}\right)}{n}}\\\\\lambda _{1}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}}}\right)}{\mathrm {Log} ~n}},\\\\\lambda _{2}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}\mathrm {Log} ~n}}\right)}{\mathrm {Log} ^{2}~n}},\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\lambda _{r}'&={\dfrac {\mathrm {Log} \left({\dfrac {1}{nu_{n}\mathrm {Log} ~n\cdots \mathrm {Log} ^{r-1}n}}\right)}{\mathrm {Log} ^{r}~n}};\\\end{aligned}}$

la serie $\sum u_{n}$ è convergente o divergente secondo che la prima delle quantità $\lambda '$ che non si annulla per $n=\infty$ è positiva o negativa; ed è pure divergente quando si trovi che una delle quantità $\lambda$ anche che tenda a zero è sempre negativa fuori del limite.

Osservazione. — Siccome si ha $\lambda _{0}=\mathrm {Log} {\frac {1}{\sqrt[{n}]{u_{n}}}}$, così sì può anche dire in particolare che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente o divergente secondo che ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}$ avrà un limite maggiore o minore dell’unità.

14. Notiamo ancora che siccome dalle (2) si ha

$\lambda _{p}={\frac {\mathrm {Log} \left\{{\dfrac {1}{u_{n}\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-2}\sigma _{n}}}\right\}-\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}},$

così si avrà

(4)

$\lambda _{p}=\lambda _{p-1}{\frac {\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}-1;$

ed è sotto questa forma che tornerà comodo di tenere le $\lambda$ o le $\lambda '$ quando si vorranno applicare i criteri dei numeri 12 e 13 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$.