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sulle serie a termini positivi

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Tutte le serie divergenti adunque che abbiam considerate nei numeri 7, 8 e 9, prese per la serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, conducono ad altrettanti criterj; e quì prendendo in particolare per $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ la serie

$1+1+1+\cdots$

e le serie logaritmiche del numero 9 corrispondenti a $\mu =0$, cioè facendo

$\varphi (n)=1,\quad =n,\quad =n\mathrm {Log} ~n,\quad =n\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n,\ldots$

$\ldots ,\quad =n\mathrm {Log} ~n~\mathrm {Log} ^{2}n\cdots \mathrm {Log} ^{r}n,$

si potrà enunciare il seguente teorema: La serie $\sum u_{n}$ sarà convergente o divergente secondochè la prima delle espressioni

${\begin{aligned}h_{n}^{0}&={\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-1,\\\\h_{n}'&=n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1),\\\\h_{n}''&=n\mathrm {Log} ~n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)\mathrm {Log} ~(n+1),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\\h_{n}^{r+1}&=n\mathrm {Log} ~n~\cdots \mathrm {Log} ^{r}n{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-(n+1)\mathrm {Log} ~(n+1)\cdots \mathrm {Log} ^{r}(n+1),\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\end{aligned}}$

che non ha per limite zero, avrà per limite una quantità positiva o negativa; e sarà divergente anche quando si troverà che una di queste espressioni tende a zero essendo sempre negativa fuori del limite.

Così noi vediamo risultare dal teorema (19) una buona parte dei noti criterj di convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$ nei quali entra il rapporto di due termini consecutivi della stessa serie.

Moltiplicando le espressioni precedenti per ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ il criterio prenderà una forma leggermente differente.