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sulle serie a termini positivi

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decisivo poichè si avrà

$h_{n}={\frac {S_{n}}{u_{n+1}}}-{\frac {S_{n+1}}{u_{n+1}}}=-1.$

Così dunque si vede intanto che per ogni serie $\sum u_{n}$ esiste una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ che rende decisivo il criterio del num. 19. Per vedere poi come di queste serie divergenti ne esista un numero infinito per ogni serie $\sum u_{n}$, supponiamo che $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ sia una di quelle serie divergenti (che ora abbiamo visto esistere) che danno per $h_{n}$ una espressione avente un limite finito e diverso da zero, e cerchiamo che cosa divenga $\lim h_{n}$ quando invece di servirsi della serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ ci si serve di un’altra serie pure divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}$.

Si osservi perciò dapprima che, con questa serie, si avrà

$h'_{n}=\varphi (n)\theta (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)\theta (n+1);$

e poichè colla serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ si ha

$h_{n}=\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1),\quad$ ($\lim h_{n}$ finito e diverso da zero),

così si avrà

(7)

$h'_{n}=\theta (n)h_{n}-\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}.$

Ciò posto, si distinguano i tre casi di $\theta (n)$ decrescente indefinitamente col crescere di $n$; $\theta (n)$ sempre finito e diverso da zero; $\theta (n)$ crescente indefinitamente con $n$:

1º Caso: $\theta (n)$ decrescente indefinitamente.

In questo caso osserviamo che applicando il criterio del num. 1 alla serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ col prendere $k_{n}=\theta (n)$, si vede che si dovrà avere

$\lim[\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}]=0$