Pagina:Sulle serie a termini positivi.djvu/30

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58 ulisse dini

negativo, la serie sarà divergente, e la sua somma diverrà infinita dell'ordine di .

Così per es. se non si sapesse già (numero 6) che la serie ha una somma infinita dell’ordine di , potremmo dedurlo dalle considerazioni precedenti osservando che per la serie il criterio del num. 19 dà quando si prenda


23. Nel paragrafo precedente abbiamo veduto che esistono sempre infinite serie divergenti colle quali l'applicazione del criterio del numero 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie riesce decisiva. Però queste serie dipendono dalla natura di , ed è anzi facile di vedere che non esiste una serie divergente tale che il criterio riesca decisivo per qualunque serie , 0, in altri termini, si ha che: Qualunque sia la serie divergente della quale ci si serve, applicando il teorema del num. 19, per giudicare della convergenza o divergenza di un’altra serie , esisteranno sempre delle serie divergenti e delle serie convergenti per le quali tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite.

Sia infatti una serie divergente qualunque colla quale si applica il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di altre serie. Allora, siccome questa serie è divergente, la serie


sarà divergente (num. 6) per e convergente per , e pure nell’un caso e nell’altro, qualunque sia , sarà positiva e si avrà sempre .