e in questi casi, per poter decidere se le serie corrispondenti sono convergenti, o no, bisognerà cangiare la funzione
o applicare altri criteri.
Fermiamoci in particolare sul caso in cui si voglia cangiare la funzione . Le considerazioni fatte al num. 22 ci mostrano subito che se, servendosi della serie divergente 
, si è trovato
la serie divergente 
che converrà prendere perchè il criterio del n. 19 riesca decisivo (e che certo dovrà esistere) dovrà essere tale che 
cresca indefinitamente con 
; e quindi si può dire che: scelta una serie divergente 
, se applicando con essa il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di un’altra serie 
, si troverà il caso dubbio, allora, per potere decidere, converrà prendere invece della serie un’altra serie ancora divergente 
i cui termini tendano a divenire infinitamente piccoli rispetto a quelli di .
È così che quando non serva il criterio 
bisognerà passare ad un altro 
nel quale cresca indefinitamente con , e sia tale che la serie sia divergente. Passando allora ad un ognor più crescente, il criterio finirà per venire decisivo, e le funzioni le più appropriate saranno successivamente quelle funzioni
e le altre
che deducemmo al num. 6 da una stessa serie divergente rappresentata ivi con 
.
