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ulisse dini

È da notarsi che siccome, se la serie $\sum u_{n}$ è convergente, e se le $\alpha _{n}$ sono positive, la serie $\sum v_{n}$ è evidentemente convergente, così per questo e pel teorema precedente si può anche dire che: Essendo ${\rm {u_{1},{\rm {u_{2},{\rm {u_{3},\ldots ,{\rm {u_{n},\ldots }}}}}}}}$ quantità qualunque positive e finite, la serie

$\sum u_{n}(1-\alpha _{1}u_{1})(1-\alpha _{2}u_{2})\cdots (1-\alpha _{n}u_{n})$

sarà convergente se le $\alpha _{\rm {n}}$ saranno positive e non tenderanno a zero, e se a partire da un certo punto si avrà $\alpha _{\rm {n}}{\rm {{u_{n}}<1}}$.

NOTA

1. La prima parte del teorema del num. 1 può dimostrarsi ben semplicemente nel seguente modo.

Sia $k_{n}$ la funzione considerata nel num. 1 che decresce continuamente e indefinitamente col crescere di $n$; la serie

$\sum (k_{n}-k_{n+1})=(k_{0}-k_{1})+(k_{1}-k_{2})+$

$+(k_{2}-k_{3})+\cdots +(k_{n-1}-k_{n})+(k_{n}-k_{n+1})+\cdots$

avrà i suoi termini positivi, e sarà evidentemente convergente; e quindi tale sarà pure la serie

$\sum {\frac {(k_{n}-k_{n+1})}{a}}={\frac {k_{0}-k_{1}}{a}}+{\frac {k_{1}-k_{2}}{a}}+$

$+{\frac {k_{2}-k_{3}}{a}}+\cdots +{\frac {k_{n-1}-k_{n}}{a}}+{\frac {k_{n}-k_{n+1}}{a}}+\cdots$

ove $a$ è una costante positiva piccola quanto si vuole.

Consideriamo ora la serie a termini positivi $\sum u_{n}$; essa sarà convergente se a partire da un certo punto avrà i suoi termini minori dei corrispondenti della serie precedente, vale a dire se a partire da un certo valore di $n$ si avrà

$u_{n+1}<{\frac {k_{n}-k_{n+1}}{a}}.$