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sulle serie a termini positivi

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e per questa si otterrà

$\lim h_{n}=\mu '\lim S_{n+1}^{\mu -\mu '-1}.$

Ora se $\mu$ è maggiore di uno, si potrà prendere $\mu '\leq \mu -1$, e si avrà allora $\lim h_{n}>0$; e quindi la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ sarà convergente.

Se poi si ha $\mu =1$, allora, prendendo $\mu '=1$, si troverà

$h_{n}={\frac {1}{S_{n}}},\quad m=n=1,$

e quindi $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}}}$, e a fortiori $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ per $\mu <1$, sarà divergente.

Il teorema dunque è dimostrato.

7. Per il teorema precedente se si pone

$S_{n}'={\frac {u_{1}}{S_{1}}}+{\frac {u_{2}}{S_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}}{S_{n}}},$

$S_{n}''={\frac {u_{1}}{S_{1}S'_{1}}}+{\frac {u_{2}}{S_{2}S'_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}}},$

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si può dire evidentemente che: Se $\sum u_{n}$ è una serie divergente, le serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{1+\mu }}},\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}(S'_{n})^{1+\mu }}},\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}(S''_{n})^{1+\mu }}},\ldots ,\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}S'_{n}S''_{n}\cdots S_{n}^{p-1}(S_{n}^{p})^{1+\mu }}},\ldots$

sono convergenti se $\mu$ è positivo, e divergenti se $\mu$ è negativo o nullo; e da questo risulta che il prodotto $S_{n}'S_{n}''\cdots S_{n}^{p}$, quantunque composto di fattori che crescono indefinitamente con $n$, pure, rispetto ad $S_{n}$ o ad $n$, non diviene infinito che di un ordine minore di qualunque quantità finita, per quanto grande sia il numero finito $p$ dei suoi fattori.

8. Indichiamo con la caratteristica $\mathrm {Log}$ i logaritmi in un sistema la cui base $a$ è maggiore dell’unità, e con $\mathrm {Log} ^{r}\alpha$ l’espressione

$\mathrm {Log} ~\mathrm {Log} \cdots \mathrm {Log} ~\mathrm {Log} ~\alpha ,$