convenendo che
; allora servendosi del teorema precedente, ci sarà facile di dimostrare anche il seguente:
Se è una serie divergente i cui termini non sono crescenti, la serie
ove è un numero qualunque finito, è convergente se è una quantità positiva e divergente se è negativa o nulla.
Per questo si osservi prima di tutto che indicando con i logaritmi neperiani, e con il modulo dei Logaritmi a base , cioè ponendo
si ha
e quindi
Se ora si sostituisce in questa in luogo di , evidentemente il prodotto sarà una quantità finita e differente da zero, e che, almeno a partire da un certo valore di , sarà positiva; quindi le condizioni di convergenza o divergenza della serie (3) saranno le stesse di quelle della serie