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ulisse dini

convenendo che $\mathrm {Log} ^{0}\alpha =\alpha$; allora servendosi del teorema precedente, ci sarà facile di dimostrare anche il seguente: Se $\sum u_{n}$ è una serie divergente i cui termini non sono crescenti, la serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}~\mathrm {Log} ~S_{n}~\mathrm {Log} ^{2}S_{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}S_{n}(\mathrm {Log} ^{p}S_{n})^{1+\mu }}},$

ove $p$ è un numero qualunque finito, è convergente se $\mu$ è una quantità positiva e divergente se $\mu$ è negativa o nulla.

Per questo si osservi prima di tutto che indicando con $\log$ i logaritmi neperiani, e con $M$ il modulo dei Logaritmi a base $a$, cioè ponendo

$M={\frac {\mathrm {Log} ~\alpha }{\log \alpha }}$

si ha

${\begin{aligned}\mathrm {Log} ~\alpha &=M\log \alpha ,\\\\\mathrm {Log} ^{2}\alpha &=M\log ^{2}\alpha +\mathrm {Log} ~M=\log ^{2}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M}{\log ^{2}\alpha }}\right)=M_{1}\log ^{2}\alpha ,\\\\\mathrm {Log} ^{3}\alpha &=M\log ^{3}\alpha +\mathrm {Log} ~M_{1}=\log ^{3}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M_{1}}{\log ^{3}\alpha }}\right)=M_{2}\log ^{3}\alpha ,\\&.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;\\\\\mathrm {Log} ^{r}\alpha &=M\log ^{r}\alpha +\mathrm {Log} ~M_{r-2}=\log ^{r}\alpha \left(M+{\frac {\mathrm {Log} ~M_{r-2}}{\log ^{r}\alpha }}\right)=M_{r-1}\log ^{r}\alpha ,\end{aligned}}$

e quindi

$\mathrm {Log} ~\alpha ~\mathrm {Log} ^{2}\alpha \cdots \mathrm {Log} ^{r-1}\alpha (\mathrm {Log} ^{r}\alpha )^{1+\mu }=$

$=MM_{1}M_{2}\cdots M_{r-2}(M_{r-1})^{1+\mu }\log \alpha \log ^{2}\alpha \cdots \log ^{r-1}\alpha (\log ^{r}\alpha )^{1+\mu }.$

Se ora si sostituisce in questa $S_{n}$ in luogo di $\alpha$, evidentemente il prodotto $MM_{1}M_{2}\cdots M_{r-2}(M_{r-1})^{1+\mu }$ sarà una quantità finita e differente da zero, e che, almeno a partire da un certo valore di $n$, sarà positiva; quindi le condizioni di convergenza o divergenza della serie (3) saranno le stesse di quelle della serie

$\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}\log S_{n}\log ^{2}S_{n}\cdots \log ^{r-1}S_{n}(\log ^{r}S_{n})^{1+\mu }}},$