Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/101

Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta.

7.1 - Variabili casuali bidimensionali

85

dotato della proprietà che

$\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = {[\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)}]}^{- 1}$

In tal caso, dalla richiesta di invarianza della probabilità sotto il cambiamento di variabili,

$f (x, y) d x d y = g (u, v) d u d v$

si ottiene la funzione densità di probabilità congiunta per u e v, che è legata alla $f (x, y)$ dalla

g (u, v) = f [x (u, v), y (u, v)] \cdot | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} |

(7.3)

7.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indipendenti

Come esempio, consideriamo due variabili casuali x ed y indipendenti tra loro e di cui si conoscano le funzioni di frequenza, rispettivamente $f (x)$ e $g (y)$ ; e si sappia inoltre che la y non possa essere nulla. Fatte queste ipotesi, useremo la formula precedente per calcolare la funzione di frequenza $φ (u)$ della variabile casuale u rapporto tra x ed y. Definite

u = \frac{x}{y}

e

v = y

,

la corrispondenza tra le coppie di variabili è biunivoca; e le funzioni inverse sono la

x = u v

e la

y = v

.

Le funzioni di frequenza congiunte delle due coppie di variabili sono, ricordando la (7.2) e la (7.3)

f (x, y) = f (x) g (y)

e

φ (u, v) = f (x) g (y) | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} |

rispettivamente; e, calcolando le derivate parziali,

$\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = det ‖ \begin{matrix} v & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ‖$