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7.1 - Variabili casuali bidimensionali

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7.1.5 Applicazione: il decadimento debole $K_{e 3}^{0}$

I decadimenti $K_{e 3}^{0}$ consistono nei due processi deboli di decadimento del mesone $K^{0}$

K^{0} \to e^{-} + π^{+} + {\bar{ν}}_{e}

e

K^{0} \to e^{+} + π^{-} + ν_{e}

;

essi possono essere descritti dalle due variabili casuali c (carica dell’elettrone nello stato finale, $c = \mp 1$ ) e t (tempo di vita del $K^{0}$ ). La teoria, sulla base della cosiddetta “ipotesi $Δ Q = Δ S$ ”), prevede che la funzione di frequenza congiunta sia

$f (t, c) = \frac{N (t, c)}{\sum_{c} \int_{0}^{+ \infty} N (t, c) d t}$

ove si è indicato con $N (t, c)$ la funzione

N (t, c) = e^{- λ_{1} t} + e^{- λ_{2} t} + 2 c \cos (ω t) e^{- \frac{λ_{1} + λ_{2}}{2} t}

:

(7.5)

nella (7.5), le costanti $λ_{1}$ e $λ_{2}$ rappresentano gli inversi delle vite medie dei mesoni $K_{1}^{0}$ e $K_{2}^{0}$ , mentre $ω$ corrisponde alla differenza tra le loro masse.

Si vede immediatamente che la (7.5) non è fattorizzabile: quindi le due variabili non sono tra loro indipendenti. In particolare, le probabilità marginali sono date dalla

$h (t) = \frac{λ_{1} λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}} (e^{- λ_{1} t} + e^{- λ_{2} t})$

e dalla

$g (c) = \frac{1}{2} + \frac{4 c λ_{1} λ_{2}}{(λ_{1} + λ_{2})^{2} + 4 ω^{2}}$ ;

mentre le probabilità condizionate sono, da definizione, la

h (t | c) = \frac{f (t, c)}{g (c)}

e la

g (c | t) = \frac{f (t, c)}{h (t)}

.

7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione

Come esempio, e ricordando il paragrafo 6.6, calcoliamo la densità di probabilità congiunta dei due valori estremi $x_{1}$ e $x_{N}$ di un campione ordinato e di dimensione N; questo sotto l’ipotesi che i dati appartengano a una popolazione avente funzione di frequenza $f (x)$ e funzione di distribuzione $F (x)$ entrambe note.