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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo

$y = \sum_{k = 1}^{N} ξ_{k}$

e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le $ξ_{k}$ sono indipendenti tra loro, otteniamo

$ϕ_{y} (t)$	= $\prod_{k = 1}^{N} ϕ_{ξ_{k}} (t)$
	= $\prod_{k = 1}^{N} e^{(i t a_{k} μ_{k} - \frac{1}{2} t^{2} {a_{k}}^{2} {σ_{k}}^{2})}$
	= $e^{[i t (\sum_{k} a_{k} μ_{k}) - \frac{1}{2} t^{2} (\sum_{k} {a_{k}}^{2} {σ_{k}}^{2})]}$
	$= e^{(i t μ - \frac{t^{2} σ^{2}}{2})}$

ove si è posto

μ = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} μ_{k}

e

σ^{2} = \sum_{k = 1}^{N} {a_{k}}^{2} {σ_{k}}^{2}

.

Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.

8.3 La distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy (o distribuzione di Breit-Wigner, nome con il quale è più nota nel mondo della fisica) è definita da una densità di probabilità che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri $θ$ e d (con la condizione $d > 0$ ),

f (x; θ, d) = \frac{1}{π d} \frac{1}{1 + {(\frac{x - θ}{d})}^{2}}

.

(8.6)

Anche se la (8.6) è integrabile, e la sua funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione della x, vale

$F (x; θ, d) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \arctan (\frac{x - θ}{d})$