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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

nessuno dei momenti esiste, nemmeno la media.

$\theta$ è la mediana della distribuzione e d ne misura la larghezza a metà altezza, come è rilevabile ad esempio dalla figura 8d. La funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy è la

$\phi _{x}(t;\theta ,d)=e^{i\theta t-|t|\,d}$;

per la cosiddetta variabile standardizzata,

$u={\frac {x-\theta }{d}}$

funzione di frequenza, funzione di distribuzione e funzione caratteristica valgono rispettivamente

${\begin{cases}f(u)\;=\;{\dfrac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\\[3ex]F(u)\;=\;{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{\pi }}\,\arctan u\\[3ex]\phi _{u}(t)\;=\;\displaystyle e^{-|t|}\end{cases}}$

Secondo la funzione (8.6) sono, ad esempio, distribuite le intensità nelle righe spettrali di emissione e di assorbimento degli atomi (che hanno una ampiezza non nulla); e la massa invariante delle risonanze nella fisica delle particelle elementari. È evidente però come nella fisica la distribuzione di Cauchy possa descrivere questi fenomeni solo in prima approssimazione: infatti essa si annulla solo per $x\to \pm \infty$, ed è chiaramente priva di significato fisico una probabilità non nulla di emissione spettrale per frequenze negative, o di masse invarianti anch’esse negative nel caso delle risonanze.

Per la distribuzione di Cauchy troncata, ossia quella descritta dalla funzione di frequenza (per la variabile standardizzata)

$f(u|-K\leq u\leq K)={\begin{cases}0&\quad |u|>K\\[1ex]{\dfrac {1}{2\,\arctan K}}\,{\dfrac {1}{\left(1+u^{2}\right)}}&\quad |u|\leq K\end{cases}}$

(discontinua in $u=\pm K$), esistono invece i momenti: i primi due valgono

$E(u|-K\leq u\leq K)=0$

e

${\text{Var}}(u|-K\leq u\leq K)={\frac {K}{\arctan K}}-1$