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8.3 - La distribuzione di Cauchy

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Se le $x_{k}$ sono N variabili casuali indipendenti che seguono la distribuzione di Cauchy con parametri $θ_{k}$ e $d_{k}$ , una generica loro combinazione lineare

$y = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} x_{k}$

segue la stessa distribuzione: infatti la funzione generatrice per le $x_{k}$ è

$ϕ_{x_{k}} (t) = e^{i θ_{k} t - | t | d_{k}}$

e, definendo $ξ_{k} = a_{k} x_{k}$ e ricordando la (6.17),

$ϕ_{ξ_{k}} (t) = ϕ_{x_{k}} (a_{k} t) = e^{i a_{k} θ_{k} t - | t | \cdot | a_{k} | d_{k}}$ ;

infine, applicando la (6.11),

$ϕ_{y} (t) = \prod_{k = 1}^{N} ϕ_{ξ_{k}} (t) = e^{i θ_{y} t - | t | d_{y}}$

ove si è posto

θ_{y} = \sum_{k = 1}^{N} a_{k} θ_{k}

e

d_{y} = \sum_{k = 1}^{N} | a_{k} | d_{k}

.

Una conseguenza importante è che il valore medio di un campione di misure proveniente da una popolazione che segua la distribuzione di Cauchy con certi parametri $θ$ e d (in questo caso tutte le $a_{k}$ sono uguali e valgono $1 / N$ ) è distribuito anch’esso secondo Cauchy e con gli stessi parametri; in altre parole non si guadagna nessuna informazione accumulando più di una misura (e calcolando la media aritmetica del campione)^[1].

8.3.1 Il rapporto di due variabili normali

Siano due variabili casuali x ed y che seguano la distribuzione normale standardizzata $N (0, 1)$ ; e sia inoltre la y definita su tutto l’asse reale ad eccezione dell’origine ( $y \neq 0$ ). La densità di probabilità congiunta di x e y è la

$f (x, y) = N (x; 0, 1) \cdot N (y; 0, 1) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} e^{\frac{1}{2} y^{2}}$ ;

↑ Esistono altre tecniche, basate però sull’uso della mediana, che permettono di migliorare la conoscenza del valore di $θ$ disponendo di più di una misura.

[1] Esistono altre tecniche, basate però sull’uso della mediana, che permettono di migliorare la conoscenza del valore di $θ$ disponendo di più di una misura.

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