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12.1 - La distribuzione del $\chi ^{2}$

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• Inoltre si potrebbe analogamente dimostrare che la variabile casuale ${\sqrt {2X}}$, anche per valori relativamente piccoli di $N$, ha una distribuzione che è assai bene approssimata da una funzione normale con media ${\sqrt {2N-1}}$ e varianza 1; l’approssimazione è già buona per $N\gtrsim 8$.

Dalla definizione (o dalla funzione caratteristica (12.2)) discende immediatamente la cosiddetta regola di somma del $\chi ^{2}$ ossia che, se $X$ ed $Y$ sono due variabili casuali statisticamente indipendenti entrambe distribuite come il $\chi ^{2}$, con $N$ ed $M$ gradi di libertà rispettivamente, la loro somma $Z=X+Y$ è una variabile casuale ancora distribuita come il $\chi ^{2}$; però con $N+M$ gradi di libertà.

Ovviamente, se le $x_{i}$ (con $i=1,\ldots ,N$) sono $N$ variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro e provenienti da una stessa distribuzione normale con media $\mu$ e varianza $\sigma ^{2}$, discende da quanto detto che la nuova variabile casuale

$X'=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$

è distribuita come il $\chi ^{2}$ a $N$ gradi di libertà. Indichiamo ora, al solito, con ${\bar {x}}$ la media aritmetica delle $x_{i}$: vogliamo dimostrare che la variabile casuale

$X''=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{2}$

è distribuita ancora come il $\chi ^{2}$, ma con $N-1$ gradi di libertà.

A questo scopo facciamo dapprima alcune considerazioni, indipendenti dalle ipotesi prima fatte sulle $x_{i}$ e che risultano quindi valide per variabili casuali qualunque: supponiamo di definire $N$ nuove variabili $y_{i}$ come generiche combinazioni lineari delle $x_{j}$, con coefficienti che indicheremo col simbolo $A_{ij}$; in modo insomma che risulti

$y_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}\,x_{j}$.

La somma dei quadrati delle $y_{i}$ è data da

$\sum _{i=1}^{N}{y_{i}}^{2}=\sum _{i=1}^{N}\left(\sum _{j=1}^{N}A_{ij}\,x_{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{N}A_{ik}\,x_{k}\right)=\sum \nolimits _{jk}x_{j}\,x_{k}\sum \nolimits _{i}A_{ij}\,A_{ik}$

è possibile che questa somma risulti uguale alla somma dei quadrati delle $x_{i}$ qualunque sia il valore di queste ultime? Ovviamente questo avviene se e