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Appendice C - Covarianza e correlazione

C.4 Applicazioni all'interpolazione lineare

Riprendiamo adesso il problema dell'interpolazione lineare, già discusso nel capitolo 11: si sia cioè compiuto un numero $N$ di misure indipendenti di coppie di valori di due grandezze fisiche $x$ e $y$, tra le quali si ipotizza che esista una relazione funzionale di tipo lineare data da $y=a+bx$. Supponiamo inoltre che siano valide le ipotesi esposte nel paragrafo 11.4.1; in particolare che le $x_{i}$ siano prive di errore, e che le $y_{i}$ siano affette da errori normali e tutti uguali tra loro.

C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati

Sebbene i valori della $x$ siano scelti dallo sperimentatore e privi di errore, e non siano pertanto variabili casuali in senso stretto; e sebbene la variabilità delle $y$ sia dovuta non solo agli errori casuali di misura ma anche alla variazione della $x$, introduciamo ugualmente (in maniera puramente formale) le medie e le varianze degli $N$ valori $x_{i}$ e $y_{i}$, date dalle espressioni

${\bar {x}}\;=\;{\frac {\sum _{i}x_{i}}{N}}$

e

${\text{Var}}(x)\;=\;{\frac {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{N}}\;=\;{\frac {\sum _{i}{x_{i}}^{2}}{N}}-{\bar {x}}^{2}$

(e simili per la $y$); e la covarianza di $x$ e $y$, data dalla

${\text{Cov}}(x,y)\;=\;{\frac {\sum _{i}x_{i}\,y_{i}}{N}}\,-\,{\bar {x}}{\bar {y}}$.

Queste grandezze permettono di riscrivere le equazioni (11.9) risolutive del problema dell'interpolazione lineare per un insieme di dati, che abbiamo già incontrato a pagina 181, nella forma

$\left\{{\begin{array}{lclcl}a&+&b\,{\bar {x}}&=&{\bar {y}}\\[1ex]a\,{\bar {x}}&+&b\,{\bigl [}{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}{\bigr ]}&=&{\text{Cov}}(x,y)\;+\;{\bar {x}}{\bar {y}}\end{array}}\right.$

La prima equazione intanto implica che la retta interpolante deve passare per il punto $({\bar {x}},{\bar {y}})$ le cui coordinate sono le medie dei valori misurati delle due variabili in gioco; poi, ricavando da essa $a={\bar {y}}-b{\bar {x}}$ e sostituendo nella seconda equazione, dopo aver semplificato alcuni termini si ottiene la soluzione per l'altra incognita:

$b\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{{\text{Var}}(x)}}\;\equiv \;{\text{Corr}}(x,y)\,{\sqrt {\frac {{\text{Var}}(y)}{{\text{Var}}(x)}}}$

(C.6)

e la retta interpolante ha quindi equazione

$y\;=\;a+bx\;=\;\left({\bar {y}}-b{\bar {x}}\right)+bx$