Principii di geometria/Notazioni
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Giuseppe Peano - Principii di geometria (1889)
Notazioni
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NOTAZIONI DI LOGICA E ABBREVIAZIONI
Il segno |||
si legge|||
P |||
proposizione. Esso comparisce solo nelle citazioni; così in un paragrafo qualunque P7 indica la proposizione 7 di quel paragrafo; §2 P5 indica la proposizione 5 del § 2.|||
K |||
classe, o categoria di enti. Nelle formule seguenti esso è sempre susseguito dal segno 1, che significa punto; la formula K1 si legge una classe di punti, o figura geometrica.|||
∈ |||
è, o sono. La formula a ∈ b si legge «a è un b», ovvero «a è un individuo della classe b». Invece a, b ∈ c si legge «a e b sono dei c». Quindi le formule a ∈ 1, e a, b ∈ 1 si leggono rispettivamente «a è un punto», «a e b sono dei punti». Il segno ∈ è l'iniziale greca delle parole è, sono.|||
∩ |||
e. Esso indica la congiunzione. Se a e b sono classi, a ∩ b indica ciò che è ad un tempo a e b. Se a e b sono proposizioni, la stessa formula indica l'affermazione simultanea delle due proposizioni. Questo segno si sopprime fra le proposizioni, e quando non vi sia pericolo d'ambiguità.|||
∪ |||
o. Esso indica la disgiunzione. Si osservino le proprietà commutativa e distributiva delle operazioni indicate coi segni ∩ e ∪, e che ciascuna è distributiva rispetto all'altra.|||
— |||
non. Quindi — ∈ si legge non è; a — ∈ b si legge «a non è un b».|||
∧ |||
nulla, o assurdo. Questo segno ha il primo significato trattandosi di classi, il secondo se di proposizioni.
|||
Il segno ∧ è l'iniziale rovesciata della parola vero.|||
⊃ |||
è contenuto, o si deduce, secondochè si tratta di classi o di proposizioni. Esso è l'iniziale rovesciata della parola contiene.|||
= |||
è eguale. Trattandosi di classi o di proposizioni, la relazione a = b indica la coesistenza delle due relazioni a ⊃ b, e b ⊃ a.
|||
Se a e b sono proposizioni contenenti degli enti indeterminati x, y (oltre ad altre lettere), allora la scrittura a ⊃x,y b significa «qualunque siano x e y, da a si deduce b», e la scrittura a =x,y b significa «la a = b è un'identità rispetto ad x e y».|||
[x ∈] a, |||
ove a sia una proposizione contenente la lettera x, indica la classe formata dagli x per cui è vera la proposizione a, ossia le radici della condizione a. Di questo segno faremo uso solamente nelle definizioni del § 2.|||
(a, b) [x, y] |||
f, ove f sia una formula contenente le due lettere x e y, indica ciò che diventa quella formula ove al posto di x e y si legga a e b. Useremo questo segno soltanto in alcune dimostrazioni. Queste due ultime convenzioni sono casi particolari di altra che qui non esporremo.|||
| Hp | ipotesi. | Queste abbreviazioni compaiono solamente nelle | ||||
| Ts | tesi. | dimostrazioni. |
Le parentesi { } racchiudono le dimostrazioni.
Colle lettere a, b, ..., z indicheremo, come d’uso, enti indeterminati qualunque. Non ci serviremo a questo scopo nè di maiuscole, nè di accenti.
Useremo come in Algebra le parentesi ( ) per indicare l’ordine in cui si devono raggruppare i varii segni d’una formula. Serviranno pure allo stesso scopo i segni di punteggiatura . : ∴ ∷ ecc. Onde interpretare una formula divisa coi punti, prima si riuniranno i segni non separati da alcun punto, poi quelli da uno, poi quelli da due, e così via. I punti si tralasceranno quando non siavi pericolo di ambiguità.
Dei segni precedenti bastano per enunciare le prop. (teor. ed assiomi) i 7 seguenti: ∈, ∩, ∪, −, ∧, ⊃, =. L’ultimo ha la stessa forma, ma un significato più esteso, che in Algebra. I segni ⊃ e ∪, benchè utili, non sono necessarii, potendosi, al posto di a ⊃ b scriverea — b = ∧.
e al posto di a ∪ b scrivere
− ((− a) ∩ (− b)).
Si noti che la corrispondenza fra i segni ∈, ∩, ∪, ecc. e le parole è, e, o, ecc. è solo approssimata; invero queste parole hanno nel linguaggio comune diversi significati, di cui uno solo corrisponde a quei segni logici.