Principii di geometria/Notazioni

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Notazioni

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Prefazione Principii di geometria
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NOTAZIONI DI LOGICA E ABBREVIAZIONI



Il segno ||
si legge||
||
proposizione. Esso comparisce solo nelle citazioni; così in un paragrafo qualunque P7 indica la proposizione 7 di quel paragrafo; §2 P5 indica la proposizione 5 del § 2.||
||
classe, o categoria di enti. Nelle formule seguenti esso è sempre susseguito dal segno 1, che significa punto; la formula K1 si legge una classe di punti, o figura geometrica.||
∈ ||
è, o sono. La formula a ∈ b si legge «a è un b», ovvero «a è un individuo della classe b». Invece a, b ∈ c si legge «a e b sono dei c». Quindi le formule a ∈ 1, e a, b ∈ 1 si leggono rispettivamente «a è un punto», «a e b sono dei punti». Il segno ∈ è l'iniziale greca delle parole è, sono.||
∩ ||
e. Esso indica la congiunzione. Se a e b sono classi, a ∩ b indica ciò che è ad un tempo a e b. Se a e b sono proposizioni, la stessa formula indica l'affermazione simultanea delle due proposizioni. Questo segno si sopprime fra le proposizioni, e quando non vi sia pericolo d'ambiguità.||
∪ ||
o. Esso indica la disgiunzione. Si osservino le proprietà commutativa e distributiva delle operazioni indicate coi segni ∩ e ∪, e che ciascuna è distributiva rispetto all'altra.||
— ||
non. Quindi —  ∈ si legge non è; a —  ∈ b si legge «a non è un b».||
∧ ||
nulla, o assurdo. Questo segno ha il primo significato trattandosi di classi, il secondo se di proposizioni.
Il segno ∧ è l'iniziale rovesciata della parola vero.||
||
⊃ ||
è contenuto, o si deduce, secondochè si tratta di classi o di proposizioni. Esso è l'iniziale rovesciata della parola contiene.||
||
è eguale. Trattandosi di classi o di proposizioni, la relazione a = b indica la coesistenza delle due relazioni a ⊃ b, e b ⊃ a.
Se a e b sono proposizioni contenenti degli enti indeterminati x, y (oltre ad altre lettere), allora la scrittura a ⊃x,y b significa «qualunque siano x e y, da a si deduce b», e la scrittura a =x,y b significa «la a = b è un'identità rispetto ad x e y».||
||
[x ∈] a ||
, ove a sia una proposizione contenente la lettera x, indica la classe formata dagli x per cui è vera la proposizione a, ossia le radici della condizione a. Di questo segno faremo uso solamente nelle definizioni del § 2.||
[p. viii modifica](a, b) [x, y] f, ove f sia una formula contenente le due lettere x e y, indica ciò che diventa quella formula ove al posto di x e y si legga a e b. Useremo questo segno soltanto in alcune dimostrazioni. Queste due ultime convenzioni sono casi particolari di altra che qui non esporremo.
Hp ipotesi Queste abbreviazioni compaiono solamente nelle
Ts Tesi dimostrazioni.

Le parentesi { } racchiudono le dimostrazioni.

Colle lettere a, b, ..., z indicheremo, come d’uso, enti indeterminati qualunque. Non ci serviremo a questo scopo nè di maiuscole, nè di accenti.

Useremo come in Algebra le parentesi ( ) per indicare l’ordine in cui si devono raggruppare i varii segni d’una formula. Serviranno pure allo stesso scopo i segni di punteggiatura . : .·. :: ecc. Onde interpretare una formula divisa coi punti, prima si riuniranno i segni non separati da alcun punto, poi quelli da uno, poi quelli da due, e così via. I punti si tralasceranno quando non siavi pericolo di ambiguità.

Dei segni precedenti bastano per enunciare le prop. (teor. ed assiomi) i 7 seguenti: ∈, ∩, ∪, — , ∧, ⊃, =. L’ultimo ha la stessa forma, ma un significato più esteso, che in Algebra. I segni ⊃ e ∪, benchè utili, non sono necessarii, potendosi, al posto di ab scrivere

ab = ∧.

e al posto di ab scrivere

— ((— a) ∩ (— b)).

Si noti che la corrispondenza fra i segni ∈, ∩, ∪, ecc. e le parole è, e, o, ecc. è solo approssimata; invero queste parole hanno nel linguaggio comune diversi significati, di cui uno solo corrisponde a quei segni logici.



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