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Principii di geometria/Principii di geometria

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Notazioni Note
[p. 9 modifica]

PRINCIPII DI GEOMETRIA


§ 1. Punto e segmento.


Il segno 1 leggasi punto.

Il segno =, fra due punti, indica la loro identità (coincidenza).

Se a, b sono punti, con ab intenderemo la classe formata dai punti interni al segmento ab. Quindi la formula cab significa «c è un punto interno al segmento ab».

Assiomi sul segno =.

  1. a = a.
  2. a = b . = . b = a.
  3. a = b . b = c : ⊃ . a = c.

Assiomi sui segmenti.

  1. a, b1 . ⊃ . ab ∈ K 1.
  2. a, b, c, d1 . a = b . c = d : ⊃ . ac = bd.

§ 2. Definizioni.

  1. a, b1 . ⊃ ∴ ab = : 1 . [x ∈] (bax).
  2. a, b1 . ⊃ ∴ ab′ = : 1 . [x ∈] (axb).
  3. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ ∴ ak = : 1 . [x ∈] (yk . xay : − =y Λ).
  4. »: ⊃ ∴ ak = : 1 . [x ∈] (yk . xay : − =y Λ).
  5. »: ⊃ ∴ ak′ = : 1 . [x ∈] (yk . xay′ : − =y Λ).
  6. h, k ∈ K 1 : ⊃ ∴ hk = : 1 . [x ∈] (yh . xyk : − =y Λ).
  7. »: ⊃ ∴ hk = : 1 . [x ∈] (yh . xyk : − =y Λ).
  8. »: ⊃ ∴ hk′ = : 1 . [x ∈] (yh . xyk′ : − =y Λ).
  9. h ∈ K 1 . ⊃ . h″ = hh′.
  10. 2 = [x ∈] (a, b, c1 . a − = b . x = (ab)″ : − =a, b Λ).
  11. a, b, c1 . ⊃ ∷ a, b, c ∈ Cl . = ∴ r2 . a, b, cr : − =r Λ.
  12. 3 = [x ∈] (a, b, c1 . a, b, c − ∈ Cl . x = (abc)″ : − =a, b, c Λ).
[p. 10 modifica]
  1. a, b, c, d1 . ⊃ ∷ a, b, c, d ∈ Cp . = ∴ p3 . a, b, c, dp : − =p ∧.
  2. Cnv . = . [x ∈] (x ∈ K 1 : a, bx . ⊃a, b . abx).

Abbreviazioni.

abc = a(bc) . abc = a′(bc) . abc = a′(bc) . abcd = a(bcd) . ecc.

§ 3. Teoremi.

Sulle definizioni 1 e 2.

  1. a, b1 . ⊃ ∴ cab . = : c1 . bac. {P1 = §2 P1}
  2. a, b, c1 . ⊃ : cab . = . bac.{P1 ⊃ P2}
  3. a, b, c1 . ⊃ : cab′ . = . acb.{§2 P2 ⊃ P3}
  4. a, b, c1 . ⊃ : abc . = . bac′ . = . cba.{P4 = : P2 . P3}

Sulle definizioni 3, 4, 5.

  1. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ ::: xak . = ∷ x1yk . xay : − =y ∧.
    {P5 = §2 P3}
  2. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ ∴ xak . = : x1 . kax − = ∧.{P6 = P5}
  3. »: ⊃ ∴ xak . = : x1 . kax − = ∧.{P7 = §2 P4}
  4. »: ⊃ ∴ xak′ . = : x1 . kxa − = ∧.{P8 = §2 P5}
  5. a, b1 . k ∈ K 1 : ⊃ : bak . = . abk′.{P6 . P8 : ⊃ P9}
  6. a1 . h, k ∈ K 1 . hk : ⊃ . ahak.
  7. » » : ⊃ . ahak.
  8. » » : ⊃ . ah′ ⊃ ak′.
{Hp . P8 : ⊃ ∴ xah′ . = : x1 . hxa − = ∧ : ⊃ : x1 . kxa − = ∧ : = . xak′ : ⊃ Ts.}
  1. a1 . h, k. ∈ K 1 : ⊃ . a (hk) = ahak.
  2. »: ⊃ . a′ (hk) = ahak.
  3. »: ⊃ . a (hk)′ = ah′ ∪ ak′.
  4. a1 . k ∈ K 1 . k = ∧ : ⊃ : ak = ∧ . ak = ∧ . ak′ = ∧.

Sulle definizioni 6, 7, 8.

  1. h, k ∈ K 1 : ⊃ ::: xhk . = ∷ x1yh . zk . xyz : − =y, z ∧.
  2. »::: xhk . = » » xyz »
  3. »::: xhk′ . = » » xyz »
[p. 11 modifica]
  1. h, k, l ∈ K 1 . hk : ⊃ hlkl . hlkl . hl′ ⊃ kl′.
  2. h, k, l ∈ K 1 : ⊃ : (hk)l = hlkl . (hk)′l = hlkl . (hk)l′ = hl′ ∪ kl′.
  3. h, k ∈ K 1 . h = ∧ : ⊃ . hk = hk = hk′ = ∧.

Sulla definizione 9.

  1. k ∈ K 1 . ⊃ ∷ xk″ . = ∴ y, zk . xyz : − =y, z ∧.
  2. h, k ∈ K 1 . hk : ⊃ . h″ ⊃ k″.
  3. a1 . k ∈ K 1 . bk : ⊃ . (ab)″ ⊃ (ak)″.

Sulle definizioni 10 e 12.

  1. x2 . = ∴ a, b1. a − = b . x ∈ (ab)″ : − =a, b ∧.
  2. a, b1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ ∈ 2.
  3. x3 . = ∴ a, b, c1 − Cl. x ∈ (abc)″ : − =a, b, c ∧.
  4. a, b, c1 − Cl. ⊃ . (abc)″ ∈ 3.

Sulla definizione 14.

  1. h ∈ Cnv. = ∴ h K 1 : a, bh . ⊃a, b . abh.
  2. h, k ∈ Cnv. ⊃ . hk ∈ Cnv.
{Hp. ⊃ ∴ h, k ∈ K 1 : a, bh . ⊃a, b . abh : a, bk . ⊃a, b . abk ∴ ⊃ ∴ hk ∈ K 1 : a, bhk . ⊃a, b . abhk ∴ ⊃ . Ts}.
  1. k ∈ Cnv. l ∈ K 1 . lk . ak : ⊃ . alk.
  2. k ∈ Cnv. a, b, ck : ⊃ . abck.
  3. k ∈ Cnv. a, b, c, dk : ⊃ . abcdk.
  4. k ∈ Cnv. a, bk : ⊃ . (ab)″ ⊃ k″.

§ 4. Assiomi I, II, III, IV.

Assioma I.

  1. 1 − = ∧.

Assioma II.

  1. a1 . ⊃ ∴ x1 . x − = a : − =x ∧.

Assioma III.

  1. a1 . ⊃ . aa = ∧.
[p. 12 modifica]

Teoremi.

  1. a, b1 . a = b : ⊃ . ab = ∧.{Hp . ⊃ . ab = aa = ∧}
  2. a, b1 . ab − = ∧ : ⊃ . a − = b.{P5 = P4}
  3. a, b1 . cab : ⊃ . a − = b.{Hp . ⊃ : ab − = ∧ . P5 : ⊃ Ts.}
  4. a, b, c1 . b ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.{P7 = P6}
  5. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.

Assioma IV.

  1. a, b1 . a − = b : ⊃ . ab − = ∧.

Teoremi.

  1. a, b1 . ab = ∧ : ⊃ . a = b.{P10 = P9}
  2. a, b1 . ⊃ : a = b . = . ab = ∧.{P11 = : P4 . P10}
  3. a, b1 . a − = b : ⊃ . baab.
{Hp . ⊃ . ab − = ∧ . ⊃ . abab − = ∧ . ⊃ . Ts.}

§5. Assiomi V, VI, VII.

Assioma V.

  1. a, b1 . ⊃ . ab = ba.

Teoremi.

  1. a, b1 . ⊃ . ab = ba′.
{Hp : ⊃ : xab . = . bax . = . bxa . = . xba′ : ⊃ Ts}
  1. a, b1 . k ∈ K 1 : ⊃ : bak . = . abk.{Hp . §3 P7 : ⊃ : bak . = . kab − = ∧ . = . kba − = ∧ . = abk : ⊃ . Ts.}
  2. a, b, c, d1 . ⊃ : abcd − = ∧ . = . abcd . = . bacd . = . cdab . = . dcab.
  3. ». ⊃ : abcd − = ∧ . = . ab(cd)′ . = . bacd . = . cdab . = . dcab.
  4. ». ⊃ : abcd − = ∧ . = . ab(cd′)′ . = . bacd . = . cd(ab)′ . =. dcab.
  5. h, k ∈ K 1 . ⊃ . hk = kh.
  6. ». ⊃ . hk = kh′.
[p. 13 modifica]

Assioma VI.

  1. a, b1 . ⊃ . a − ∈ ab.

Teoremi.

  1. a, b1 . ⊃ . b − ∈ ab.{Hp . P9 . P1 : ⊃ : b − ∈ ba . ba = ab : ⊃ Ts}
  2. a, b1 . cab : ⊃ : c − = a . c − = b.{P11 = : P9 . P10}
  3. a, b1 . cab : ⊃ : c − = . a . c − = b.{P12 = : P11 . §4 P7}
  1. a1 . ⊃ . aa = ∧.
  2. a1 . ⊃ . a″ = ∧.
  3. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.

Assioma VII.

  1. a, b1 . a − = b : ⊃ . ab − = ∧.

Teoremi.

  1. a, b1 . ⊃ : ab = ∧ . = . a = b.{P17 = : P16 . P13}
  2. a, b1 . a − = b : ⊃ . baab.
{Hp . ⊃ . ab − = ∧ . ⊃ . abab − = ∧ . ⊃ . Ts}

§ 6. Assioma VIII.

  1. a, b, c, d1 . cad . bac : ⊃ . bad.

Teoremi.

  1. a, c, d1 . cad : ⊃ . acad{P2 = P1}
  2. a, b1 . cab : ⊃ . acab.{P3 = b [d] P2}
  3. » » : ⊃ . cbab.{P4 = (a, b) [b, a] P3}
  4. » » : ⊃ . acccbab.{P5 = : P3 . P4}
  5. a, b1 . cab . dac : ⊃ . cdab.
{Hp . P3 . P4 : ⊃ . cdac . acab : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . cab : ⊃ . caab.{Hp . ⊃ : c − = a : ⊃ : ac − = ∧ . acab . ⊃ : acab − = ∧ : ⊃ . Ts}
  2. a, b1 . ⊃ . abaab.{P8 = P7}
[p. 14 modifica]
  1. a, c1 . bac : ⊃ . baac.{P9 = P8}
  2. a, b1 . ⊃ . abaab.{P10 = P9}
  3. a, b1 . a − = b : ⊃ . abbabaab.
{P11 = : P8 . P10 . §4 P12}
  1. a, b, c1 . bac : ⊃ . acab.{P12 = P1}
  2. a, c1 . bac : ⊃ . baac.
{Hp . §4 P6 : ⊃ : c − = a . §5 P16 : ⊃ : ac − = ∧ . ⊃ acab : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . ⊃ . abaab.{P14 = P13}
  2. a, b1 . cab : ⊃ . caab.{P15 = P13}
  3. a, b1 . ⊃ . abaab.{P16 = P15}
  4. a, b1 . a − = b : ⊃ . abbabaab.
{P14 . P16 . §5 P18 : ⊃ P17}
  1. a, b, c1 . bac . cab : = ∧.
{Hp . (b) [d] P1 : ⊃ : bab . §5 P10 : ⊃ ∧}
  1. a, b1 . ⊃ . abab = ∧.{P19 = P18}
  2. b, c1 . ⊃ . cbbc = ∧.{P20 = P18}
  3. a, b1 . ⊃ . abba = ∧.{P21 = P20}
  4. a, b, d1 . abad − = ∧ : ⊃ . bad.{P22 = P1}
  5. a, b, d1 . baad : ⊃ . bad.{P23 = P22}
  6. a, b1 . ⊃ . aabab.{P24 = P23}
  7. a, b, d1 . daab : ⊃ . dab.{P25 = P22}
  8. a, b1 . ⊃ . aabab.{P26 = P25}
  9. a, b1 . a − = b : ⊃ . b ∈ (ab)″.
{Hp . §4 P9 . §5 P10 : ⊃ ∴ cab . dcb : − =c, d ∧ ∴ ⊃ ∴ c, dab . bcd : − =c, d ∧ ∴ ⊃ Ts}
  1. a, b1 . ⊃ . ab ⊃ (ab)″.{Hp . xab : ⊃ : x − = a . x ∈ (ax)″ . axab . (ax)″ ⊃ (ab)″ : ⊃ . x ∈ (ab)″}

§ 7. Assioma IX.

  1. a, d1 . b, cad : ⊃ : b = c . ∪ . bac . ∪ . bcd.

Teoremi.

  1. a, d1 . cad : ⊃ . adacccd.{P2 = P1}
  2. a, b1 . cab : ⊃ . abacccb.{P3 = P2}
  3. a, b1 . cab : ⊃ . ab = acccb.{P4 = : P3 . §6 P5}
[p. 15 modifica]
  1. a, d1 . bad . cbd : ⊃ . bac.{Hp . §6 P1 P18 : ⊃ : a, d1 . b , cad . b − = c . b − ∈ cd . P1 : ⊃ . Ts}
  2. a, d1 . bad : ⊃ . bdab.{P6 = P5}
  3. a, b1 . cab : ⊃ . bcab.{P7 = (c) [d] P6}
  4. a, b1 . cab : ⊃ . bccacab{P8 = : P7 . §6 P12}
  5. a, b1 . cab : ⊃ . bcab − = ∧.
{Hp . ⊃ : c − = b . bc − = ∧ . bcab : ⊃ Ts}
  1. a, b1 . cab : ⊃ . cbab.{P10 = P9}
  2. a, b1 . ⊃ . abbab.{P11 = P10}
  3. a, c1 . bac : ⊃ . acab − = ∧.
{Hp . P9 : ⊃ : bcac . bcab − = ∧ : ⊃ . Ts}
  1. a, c1 . bac : ⊃ . baac.{P13 = P12}
  2. a, c1 . ⊃ . acaac.{P14 = P13}
  3. a, b1 . ⊃ . abaab{P15 = b [c] P14}
  4. a, b1 . ⊃ aab = ab.{P16 = : P15 . §6 P24}
  5. a, b1 . cab : ⊃ . caab.{P17 = P12}
  6. a, b1 . ⊃ . abaab.{P18 = P17}
  7. a, b1 . ⊃ . aab = ab.{P19 = : P18 . §6 P26}
  8. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . aak = ak.
  9. » » : ⊃ . aak = ak.
  10. b, d1 . cbd : ⊃ . dbcb.{P22 = P5}
  11. a, b1 . cab : ⊃ . acbc.{P23 = (a, b, c} [b, c, d] P22}
  12. a, b1 . cab : ⊃ . bcab − = ∧.
{Hp . P23 . §6 P12 : ⊃ : ac − = ∧ . acbc . acab : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . cab : ⊃ . cbba′.{P25 = 24}
  2. a, b1 . ⊃ . abbba′.{P26 = P25}
  3. a, b, c1 . abbc − = ∧ : ⊃ . bac.{P27 = P5}
  4. a, b1 . cbba′ : ⊃ . cba′.{P28 = P27}
  5. a, b1 . ⊃ . bba′ ⊃ ba′.{P29 = P28}
  6. a, b1 . ⊃ . bba′ = ba′.{P30 = : P29 . P26}
  7. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . aak′ = ak′.
  8. a, e1 . cae . bac . dce : ⊃ . cbd.
{Hp . P5 : ⊃ : cbe . bce : ⊃ . Ts}
  1. a, e1 . cae . bac . bce : = ∧.
{Hp . b [d] P32 : ⊃ : cbb . §4 P3 : ⊃ ∧}
[p. 16 modifica]
  1. a, e1 . cae : ⊃ . acce = ∧.{P34 = P33}
  2. a, b1 . cab : ⊃ . accb = ∧.{P35 = P34}
  3. a, b1 . ⊃ . ab ⊃ (ab)″.{Hp . xab : ⊃ ∴ cab . dbc : − =c, d ∧ ∴ ⊃ ∴ c, dab . xcd : − =c, d ∧ ∴ ⊃ . x ∈ (ab)″}
  4. a , b1 . a − = b : ⊃ . baaabbab ⊃ (ab)″.
{P36 . §6 P27 P28 : ⊃ P37}
  1. a1 . k ∈ K 1 . a − ∈ k : ⊃ . kaaakkak ⊃ (ak)″.
  2. a, b, c1 . a − ∈ bc : ⊃ . (bc)′aaabcbcabc ⊃ (abc)″.
  3. a, b1 . cab . dac : ⊃ . dabbab.
{Hp . P1 . P7 : ⊃ : dabbbc . bcab : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . daab : ⊃ . dabbab.{P41 = P40}
  2. a, b1 . ⊃ . aababbab.{P42 = P41}
  3. a, b1 . a − = b : ⊃ . aab = abbab.
{P42 . §6 P17 : ⊃ P43}
  1. a1 . k ∈ K 1 . a − ∈ k : ⊃ . aak = akkak.
  2. a, b1 . c, dab : ⊃ . cdab.
{Hp . d = c . §4 P4 : ⊃ . Ts.(α)
Hp . dac . §6 P6 : ⊃ . Ts.(β)
Hp . dcb . (a, b) [b, a] (β) : ⊃ Ts.(γ)
Hp . P1 . (α) (β) (γ) : ⊃ . Ts.}
  1. a, b1 . ⊃ . ab ∈ Cnv.{P46 = P45}
  2. a, b1 . ⊃ . aab ∈ Cnv.
  3. ». ⊃ . aabb ∈ Cnv.

§ 8. Assioma X.

  1. a, b1 . c, dab : ⊃ : c = d . ∪ . dbc . ∪ . cbd.

Teoremi.

  1. a, b1 . cab : ⊃ . abbccbc.{P2 = P1}
  2. a, b1 . cab : ⊃ . abbccac.{P2 . §7 P23 : ⊃ P3}
  3. a, b1 . cab : ⊃ . ab = bccac.{P4 = : P3 . §7 P8}
  4. a, b1 . cab : ⊃ . abaccac.
{Hp . P4 . §6 P3 : ⊃ : ab = bccac . bcac : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . c, dab : ⊃ . daccac.{P6 = P5}
[p. 17 modifica]
  1. a, c, d1 . acad − = ∧ : ⊃ . daccac.{P7 = P6}
  2. a, c1 . daac : ⊃ . daccac.{P8 = P7}
  3. a, c1 . ⊃ . aacaccac.{P9 = P8}
  4. a, b1 . ⊃ . aababbab.{P10 = P9}
  5. a, b1 . a − = b : ⊃ . aab = abbab.
{P10 . §6 P11 : ⊃ P11}
  1. a, b1 : ⊃ . aab = aab.{P11 . §7 P43 : ⊃ P12}
  2. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . aak = aak.
  3. a, b1 . c, dab : ⊃ . cdab.
{Hp . c = d : ⊃ : cd = ∧ : ⊃ Ts.(α)
Hp . dbc . §6 P3 . §7 P7 : ⊃ : cdbc . bcab : ⊃ Ts.(β)
Hp . cbd . (c, d) [d, c] (β) : ⊃ . Ts.(γ)
Hp . P1 . (α) (β) (γ) : ⊃ . Ts.}
  1. a, b1 . ⊃ . ab ∈ Cnv.{P15 = P14}
  2. a, b1 . ⊃ . bab ⊃ Cnv.{P16 = : P15 . §7 P7}
  3. a, b, c1 . bca : ⊃ . cca = ccb.
{Hp . P11 . §7 P4 . P3 : ⊃ : cca = caaca = cbbbaaca = cbbccb : ⊃ Ts}
  1. a, b, c1 . bca : ⊃ . cca = ccb.{P18 = (b, a) [a, b] P17}
  2. a, c1 . bcca : ⊃ . cca = ccb.{P19 = : P17 . P18}

§ 9. Assioma XI.

  1. a, b, c, d1 . bac . cbd : ⊃ . cad.

Teoremi.

  1. a, b, c1 . bac : ⊃ . bcac.{P2 = P1}
  2. a, b, c1 . bac : ⊃ . bc = ac.{P3 = : P2 . §7 P23}
  3. a, b, c1 . bca : ⊃ . bc = ac.{P4 = (b, a) [a, b] P3}
  4. a, c1 . bcca : ⊃ . bc = ac.{P3 . P4 . §8 P11 : ⊃ . P5}
  5. a, b1 . cab : ⊃ . cabbaaabbab.
{Hp . §7 P4 . §8 P11 . P3 : ⊃ : ab = acccb . cab = cacccb . cac = caaca . ccb = cbbcb . ca = ba . cb = ab : ⊃ . Ts}
  1. a, b1 . ⊃ . (ab)″ ⊃ baaabbab.{P7 = P6}
[p. 18 modifica]
  1. a, b1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ = baaabbab.
{P7 . §7 P37 : ⊃ . P8}
  1. a, b1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ = bbabab.
{P8 . §8 P11 : ⊃ . P9}
  1. a, c1 . bcca : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.{P9 . P5 . §8 P19 : ⊃ P10}
  2. a, c1 . bac : ⊃ . bc = cca.
{Hp . §8 P4 . P3 . §8 P11 : ⊃ : bc = caaba . ba = ca . cca = caaca : ⊃ Ts.}
  1. a, c1 . bac : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.
{Hp . P11 : ⊃ : bc = cca . ac = cca . ac = ccb : ⊃ : ccacac = bccccb : ⊃ Ts}
  1. a, c1 . b ∈ (ac)″ . b − = c : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.
{P13 = : P10 . P12}
  1. a, b1 . c, d ∈ (ab)″ . c − = d : ⊃ . (ab)″ = (cd)″.(P13 ⊃ P14}
  2. r2 . c, dr . c − = d : ⊃ . r = (cd)″.{P15 = P14}
  3. r, s2 . a, b1 . a, brs . a − = b : ⊃ . r = s.
{Hp. P15 : ⊃ : r = (ab)″ . s = (ab)″ : ⊃ Ts}
  1. a, b1 . ⊃ . (ab)″ Cnv.{P14 ⊃ P17}
  2. 2 ⊃ Cnv.
  3. a, b, c1 . a − = b : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . c ∈ (ab)″.
  4. a, b, c1 . ⊃ ∴ a, b, c ∈ Cl : = : a = b . ∪ . a = c . ∪ . b = c . ∪ . abc . ∪ . bac . ∪ . cab.
  5. a, b, c1 . dbc : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . a, b, d, ∈ Cl.
  6. a, b, c1 . eabc : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . a, b, e ∈ Cl.

§ 10. Assiomi XII e XIII.

Assioma XII.

  1. r2 . ⊃ ∴ x1 . x − ∈ r : − =x ∧.

Assioma XIII.

  1. a, b, c1 . a, b, c − ∈ Cl . dbc . ead : ⊃ ∴ fac . ebf : − =f ∧.

Teoremi.

  1. a, b, c, e1 . a, b, c − ∈ Cl . bcae − = ∧ : ⊃ . acbe − = ∧.
{P3 = P2}
[p. 19 modifica]
  1. a, b, c, e1 . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ : bcae − = ∧ . = . acbe − = ∧.
{P4 = : P3 . (b, a) [a, b] P3}
  1. a, b, c1 − Cl . ⊃ : eabc . = . ebac.{P5 = P4}
  2. a, b, c1 − Cl . ⊃ . abc = bac.{P6 = P5}
  3. ». ⊃ . abc = (ab)c.
{Hp . ⊃ . a(bc) = a(cb) = c(ab) = (ab)c}
  1. a, b, e1 − Cl . ⊃ : cbae . = . cabe . = . c ∈ (ab)′e.
{P8 = : P5 . P7}
  1. a, b, c1 − Cl . ⊃ . bac = abc = (ab)′c.{P9 = P8}
  2. a, b, c1 − Cl . pab . qac : ⊃ . pqabc.
{Hp . ⊃ : pqpac . paab . pacabc : ⊃ Ts}
  1. a, b, c1 . a − ∈ bc . pab . qac : ⊃ . pqabc.
{P10 . §6 P1 : ⊃ . P11}
  1. k ∈ Cnv . a1 . a − ∈ k . b, ck . pab . qac : ⊃ . pqak.
{Hp . ⊃ : bck . a − ∈ bc . pqabc . abcak : ⊃ . Ts}
  1. k ∈ Cnv . a1 . a − ∈ k : ⊃ . ak Cnv.{P13 = P12}
  2. a, b, c1 . a − ∈ bc : ⊃ . abc ∈ Cnv.
  3. a, b, c, d1 . b − ∈ cd . a − ∈ bcd : ⊃ . abcd ∈ Cnv.
  4. k ∈ Cnv . a1 . a − ∈ k : ⊃ . akk ∈ Cnv.
  5. k ∈ Cnv . a1 : ⊃ . aak ∈ Cnv.
  6. k ∈ Cnv . a1 : ⊃ . aakk ∈ Cnv.
  7. a, b, c1 − Cl . dbc . ead . xbe : ⊃ . xadcacbac.
{Hp . P2 : ⊃ ∴ fac : ebf : − =f ∧.(α)
Hp . fac . fbe : ⊃ : be = effbf . efabc . fac . bfbac : ⊃ . Ts(β)
Hp . (α) (β) : ⊃ . Ts}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . badadcacbac.{P20 = P19}
  2. a, b, c1 − Cl . ⊃ . bc′ ⊃ (abc)″.
{Hp . ⊃ . ab − = ∧.(α)
Hp . pab . xbc′ : ⊃ . xpac − = ∧.(β)
Hp . pab . xbc′ . qac . qxp : ⊃ : pqabc . x ∈ (pq)″ . (pq)″ ⊃ (abc)″ : ⊃ . x ∈ (abc)″.(γ)
Hp . xbc′ . (α) (β) (γ) : ⊃ . x ∈ (abc)″.}
  1. a, b, c1 − Cl . ⊃ . abcab ∪ ... ∪ ab ∪ ... ∪ abcabc ∪ ... ∪ abc ∪ ... ⊃ (abc)″.{P21 . §7 P39 : ⊃ P22}
[p. 20 modifica]
  1. a, b, c1 − Cl . ⊃ . (bc)″ ⊃ (abc)″.
  2. a, b, c1 − Cl . r = (bc)″ : ⊃ . ar ⊃ (abc)″.
  3. p3 . r2 : ⊃ ∴ xp . x − ∈ r : − =x ∧.
{Hp . a, b, c1 − Cl . p = (abc)″ . a − ∈ r : ⊃ . Ts.(α)
»». ar . b − ∈ r : ⊃ . Ts.(β)
»». ar . br : ⊃ : c − ∈ r : ⊃ . Ts.(γ)
Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl . pabc : ⊃ . abc = ppapabpbpbcpcpca.
{Hp . ⊃ . bcap − = ∧.(α)
Hp . dbc . dap : ⊃ : bc = bdddc . abc = abdadadc . pad . ad = apppd . abd = bapbpbpd . adc = capcpcpd . pbc = pbdpdpdc : ⊃ . Ts.(β)
Hp . (α) (β) : ⊃ Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl . p, qabc . p − = q : ⊃ . pq ∩ (aabbbccca) − = ∧.
{Hp . P26 : ⊃ : qp (aabbbccca) : ⊃ Ts.}
  1. r2 . a1 . a − ∈ r . br . cba . dar : ⊃ . dcr.
{Hp . ⊃ . rad − = ∧.(α)
Hp . er . ead . e = b : ⊃ : dab . ab = cb : ⊃ . Ts.(β)
Hp . er . ead . e − = b : ⊃ . a, b, d − ∈ Cl . r = (be)″ . bedc − = ∧ : ⊃ : rdc = ∧ : ⊃ . Ts.(γ)
Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}
  1. r2 . a1 . a − ∈ r . br . cba : ⊃ . arcr.{P29 = P28}
  2. r2 . c1 . c − ∈ r . acr : ⊃ . arcr.{P30 = P29}
  3. a, b, c1 . − Cl . pabc : ⊃ . pabca ∪ ... ∪ ab ∪ ... ∪ ab ∪ ... ∪ abcabc ∪ ... ∪ abc ∪ ...
{Hp . ⊃ . ppa = paapaabcabca.(α)
Hp . ⊃ . ppab = pababpababcabp′(ab)″.(β)
Hp . ⊃ . p′(ab)″ ⊃ c′(ab)″.(γ)
Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl : ⊃ . (abc)″ = abcabacbcabab′ ∪ bccb′ ∪ caac′ ∪ abcabcbcacababcbcacab.{P22 . P31 : ⊃ . P32}
[p. 21 modifica]
  1. a, b, c1 − Cl . ⊃ ∴ x ∈ (abc)″ : = : a, b, x ∈ Cl . ∪ . a, c, x ∈ Cl . ∪ . b, c, x ∈ Cl . ∪ . xabc . ∪ . abcx . ∪ . bacx . ∪ . cabx . ∪ . axbc − = ∧ . ∪ . bxac − = ∧ . ∪ . cxab − = ∧.

§ 11. Assioma XIV.

  1. a, b, c1 . a, b, c − ∈ Cl . dbc . fac : ⊃ ∴ ead . ebf : − =e ∧.

Teoremi.

  1. a, b, d, f1 . a, b, d − ∈ Cl . bdaf − = ∧ : ⊃ . adbf − = ∧.
{P2 = P1}
  1. a, b, d1 − Cl . fabd : ⊃ . fbad.{P3 = P2}
  2. a, b, c1 − Cl . ⊃ . abcbac.
  3. a, b, c1 − Cl . pab . qac : ⊃ . pqabc.
{Hp . ⊃ : pqpac . pacapc . pc = cpcab . cabacb : ⊃ : pqapc . pcacb . apcacb : ⊃ Ts.}
  1. h ∈ Cnv . a1 . a − ∈ h : ⊃ ah ∈ Cnv.
  2. h ∈ Cnv . a1 . a − ∈ h : ⊃ . ahhah ∈ Cnv.
{Hp . P6 . §10 P13 : ⊃ : aah ∈ Cnv . §7 P44 : ⊃ Ts}
  1. h ∈ Cnv . a1 . a − ∈ h : ⊃ . hah ∈ Cnv.
  2. a, b, c1 − Cl . pba . qca : ⊃ . pqbca.
{Hp : ⊃ : pqpcacpacba : ⊃ Ts.}
  1. h ∈ Cnv . a1 . a − ∈ h : ⊃ . ha ∈ Cnv.
  2. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . adcbad.
{Hp . ⊃ : cbd . dcbd . adcabdbad : ⊃ . Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . acbad.
{Hp . ⊃ : cbd . acabdbad : ⊃ Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . bacbad.
{Hp . ⊃ . acbad . ⊃ . bacbbad = bad . ⊃ . Ts}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . adcacbacbad.
{P14 = : P11 . P12 . P13}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . bad = adcacbac.
{P15 = : P14 . §10 P20}
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . dab = cabcacda.
{Hp : ⊃ : xdab . = . abxd . = . a ∈ (xdcxcbxc) . = . x ∈ (cdacacab) : ⊃ . Ts.}
[p. 22 modifica]
  1. a, b, c1 − Cl . dbc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
{Hp . ⊃ : bc = bdddc . abc = abdadadc . abc = abdadadc . bca = bdadadca.
». ⊃ : db = cb . adb = acb.
». ⊃ : bd = bddbc . abd = abdadabc.
». ⊃ : bad = adcacbac.
». ⊃ : dab = cabcacda.
Hp . ⊃ . Ts.}
  1. a, b, c1 − Cl . d ∈ (bc)″ . d − = b : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
  2. a, b, c1 − Cl . dabc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
{Hp . pbc . dap : ⊃ . (abc)″ = (abp)″ = (abd)″}
  1. a, b, c1 − Cl . dabc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
  2. a, b, c1 − Cl . d ∈ (abc)″ . d − ∈ (ab)″ : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
  3. a, b, c1 − Cl . d, e ∈ (abc)″ . a, d, e − ∈ Cl : ⊃ . (abc)″ = (ade)″.
  4. a, b, c1 − Cl . d, e, f ∈ (abc)″ . d, e, f − ∈ Cl : ⊃ . (abc)″ = (def)″.
  5. p3 . a, b, cp . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . p = (abc)″.
  6. p, q3 . a, b, cpq . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . p = q.
  7. 3 ⊃ Cnv.
  8. a, b, c, d1 . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . a, b, c, d ∈ Cp . = . d ∈ (abc)″.
  9. a, b, c, d1 . ⊃ ∴ a, b, c, d ∈ Cp . = : a, b, c ∈ Cl . ∪ . a, b, d ∈ Cl . ∪ . a, c, d ∈ Cl . ∪ . b, c, d ∈ Cl . ∪ . abcd . ∪ . bacd . ∪ . cabd . ∪ . dabc . ∪ . abcd − = ∧ . ∪ . acbd − = ∧ . ∪ . adbc − = ∧.
  10. p3 . r2 . a, bpr . a − = b : ⊃ . rp.
  11. r2 . a1 . a − ∈ r . cba . dcr : ⊃ . dar.
  12. r2 . c1 . c − ∈ r . acr : ⊃ . crar{P31 = P30}
  13. r2 . c1 . c − ∈ r . acr : ⊃ . ar = cr.
{P32 = : P31 . §10 P30}
  1. r2 . a1 . a − ∈ r . brra : ⊃ . ar = br.
  2. r2 . a1 . a − ∈ r . car . bcr : ⊃ . brra.
  3. r2 . a1 . a − ∈ r . brra : ⊃ . rra = rrb.
  4. r2 . a1 . a − ∈ r : ⊃ . (ar)″ ∈ 3.
  5. »»: ⊃ . (ar)″ = rra′ ∪ rra.
  6. p3 . a1 . a − ∈ p . bppa : ⊃ . ap = bp.
  7. »». cap . bcp : ⊃ . bppa.
  8. »». bppa : ⊃ . ppa = ppb.
[p. 23 modifica]

§ 12. Assiomi XV e XVI.

Assioma XV.

  1. p3 . ⊃ ∴ a1 . a − ∈ p : − =a ∧.

Assioma XVI.

  1. p3 . a1 . a − ∈ p . bap . x1 : ⊃ : xp . ∪ . axp − = ∧ . ∪ . bxp − = ∧.

Teoremi.

  1. p3 . a1 . a − ∈ p . bap . c1 : ⊃ . p ∩ (acccb) − = ∧.
{P3 = P2}
  1. p, q3 . apq : ⊃ ∴ r2 . rpq : − =r ∧.
{Hp . ⊃ ∴ bq . b − = a : − =b ∧.(α)
Hp . bq . b − = a . bp : ⊃ : (ab)″ ∈ 2 . (ab)″ ⊃ pq : ⊃ Ts.(β)
Hp . bq . b − ∈ p : ⊃ ∴ cq . c − ∈ (ab)″ : − =c ∧.(γ)
Hp . b − = a : ⊃ : dba . − =d ∧.(δ)
Hp . b1 . b − ∈ p . dba . c1 : ⊃ ∴ xp . x ∈ (bcccd) : − =x ∧.(η)
Hp . bq . b − ∈ p . cq . c − ∈ (ab)″ . dba . xp . x ∈ (bcccd) : ⊃ : dq . bcccdq . xq . a − ∈ (bcccd) . x − = a . (ax)″ ∈ 2 . (ax)″ ⊃ pq : ⊃ . Ts,(θ)
Hp . bq . b − ∈ p . (γ) (δ) (η) (θ) : ⊃ . Ts.(λ)
Hp . (α) (β) (λ) : ⊃ . Ts.}