Principii di geometria/Principii di geometria

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Principii di geometria

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Notazioni Note
[p. 1 modifica]

PRINCIPII DI GEOMETRIA


§ 1. Punto e segmento.

Il segno 1 leggasi punto.

Il segno =, fra due punti, indica la loro identità (coincidenza).

Se a, b sono punti, con ab intenderemo la classe formata dai punti interni al segmento ab. Quindi la formula cab significa «c è un punto interno al segmento ab».

Assiomi sul segno =.

  1. a = a.
  2. a = b. = .b = a.
  3. a = b.b = c:⊃.a = c.

Assiomi sui segmenti.

  1. a, b1. ⊃ ab ∈ K1.
  2. a, b, c, d1. a = b. c = d: ⊃. ac = bd.


§ 2. Definizioni.

  1. a, b1. ⊃.·. a’b =: 1. [x ∈] (bax).
  2. a, b1. ⊃.·. ab’ =: 1. [x ∈] (axb).
  3. a1. k ∈ K1: ⊃.·.ak =: 1. [x ∈] (yk. xay:— =y Λ).
  4. »: ⊃ .·. a’k = :1.[x ∈] (yk. xa’y:— =y Λ).
  5. »: ⊃ .·. ak’ = :1.[x ∈] (yk. xay’:— =y Λ).
  6. h,k ∈ K1: ⊃ .·. hk = :1.[x ∈] (yh. xyk:— =y Λ).
  7. »: ⊃ .·. h’k = :1.[x ∈] (yh. xy’k:— =y Λ).
  8. »: ⊃ .·. hk’ = :1.[x ∈] (yh. xyk’:— =y Λ).
  9. h ∈ K1. ⊃ h’’ = hh’.
  10. 2 = [x ∈] (a, b, c1. a — = b.x = (ab)’’: — =a,b Λ).
  11. a, b, c1. ⊃:: a, b, c ∈ CI.=.·. r2. a, b, cr: — =r Λ.
  12. 3 = [x ∈] (a, b, c1. a, b, c — ∈ CI. x = (abc)’’: — =a,b,c Λ).
[p. 2 modifica]13. a, b, e, d e 1. o:: a, b, e, d e Gp. =;.p e 3. a, ì>, e, dep: - =p A

14. Gnv. =. [x e] (# e K 1: a, ~b e a?. o a,&. a& a?).

Abbreviazioni.


a&c = <2(&c). a r ~bc = a r (bc). a’b’c = ab r c). a&c^ = a(bcd). ecc.


§ 3. Teoremi.


Sulle definizioni 1 e 2.


1. a, & e 1. o. e e db. =: e e 1. b e ac. JPl = §2 Pl(

2. a, &, cel.o:c€a f &. =.&eac. )PloP2; 3. a, &, e e 1. o: e e aV. =. a e c&. )§2 P2 o P3( 4. a, &, e e 1. o: a e &c. =. b e oc’. =. e e Va. )P4 =: P2. P3j

Sulle definizioni 3, 4, 5.


5. a e 1. fe e K 1: o::: a? e afe. =:: x e 1 /. y e fe. # e ay: - = y A

{P5 = §2P3}

6. a€l.fteKl:o.a?eafc. =:a?€l.ftn a r x— = a- )P6 = P5}

7.»:o.ocea r h. =:xe.l.Jmax — = A

)P7 = §2 P4}

8.»:;}.•.#? e afe’. =:x el.hnx r a — = a

{P8 = §2P5}

9. fl,66l.ft€Kl:o:6eaft. =.a€ &ft’. JP6. P8: o P9}

10. a e 1. h, fe e K 1. h q fe: 3. a/i o afe.

11.»»: o. a’ft o a’fe.

12.»» ro.aft’oafe’. JHp. P8: o.-. a? e a/&’. =: x € 1. h n # f a - = A: D: #Él.ftr>

  1. ’a - = a: = • x e afe’: Ts.j

13. a e 1. ft, fe e K 1: o. a (ft u fe) = ah u afe.

14.»: 9. a’ (ft u fe) = a’ft u a’fe.

15.»: 3.a(hv fe)’ = aft’u afe’.

16. a e 1. fe e K 1. fe = a:: afe = a • d & = A • a ^ = A

Sulle definizioni 6, 7, 8.


17. 7^, feeKl:^:::xehh. =::xel.yeh.zek.xeyz:— = yj zA.

18.»::: xch’h.=»» a? e y’s»

19.»::: x e hK. =»» # e 2/s’» [p. 3 modifica]20. h,k, l eKl:o:(huii)i =

21. h,k, l eKl:o:(huii)i = hi u hi. (hu K)’l = til u h r L(h u h)l r = M u ni’..

22. a, fc e K 1. ft = a: D • ftft = #& = ftfc’= A£wto

Sulla definizione 9.


23. ft e K 1. o:: a? e h r ’. = /. 2/, £ e ft. co e?/ f £: - = y, «A

24. ft, fc e K 1. h o k: o. ft" o fc".

25. «6l.fteKl.&eft:o. W («&)"•

Sulle definizioni 10 e 12.


26. #e2.:=.a, &el.a- = &.a?€ (a&)": - =«,& A

27. a, & e 1. a - = &: o. (a &)" e 2.

28. # e 3. =.*. a, &, e e 1 - GÌ. a? e (afre)": - = «, &, c A

29. a, &, e e 1 - CI. o. (a&c)" e 3.

Sulla definizione 14.


30. ft e Gnv. =.-. h e K 1: a, & e /*. o fl, &. ab o ft.

31. Ti, ft e Gnv. ^.Jinhe Gnv.

)Hp. o.*. ft, h e K 1: a, & e ft. o a, b. a& o ft: a, 6 € h. o a, &. a& D ft /. /. /& n fc e K 1: a, & e # «ft. o a, &. 0& D ftft.’. D. Ts(.

32. ft e Cnv. JeKi.Joft.aeftio.aJofc.

33. fe e Cnv. a, &, e e ft: o. a&c o h.

34. fe e Cnv. a, &, e, 6? e U: o. a&aZ o fe.

35. fc e Cnv. a, b e K: o. (a&)" o fc".


§ 4. Assiomi I, II, III, IV.


Assioma I.


1. 1- = A

Assioma II.


2. a e 1. o /. oo e 1. oc - = a: - = x A

Assioma III.


3. a e 1. o. aa = A. [p. 4 modifica]

Teoremi.


4. a, b e 1. a = &: o. ab = a- {Hp. o. a?? = aa = a}

5. a,&€l.a&- = A-D-«- = &- {P5 = P4}

6. a, & € 1. e e a&: o. a - = b. {Hp. o: a& - = a • P5: D Ts.}

7. a, &,C€l.&€a’c:D.&- = a. {P7=P6}

8. ael.fteKl:o.a — e a f ft.

Assioma IV.


9. a, & e 1. a — = b: o. ab — = a

Teoremi.


10. a, & e 1. ab = a:. a = &. {P10 = P9}

11. a, & e 1. o: a = &. =. a& = a- {P11 = P4. P10}

12. a, frel.a — = &:q.&€ a r a&.

{Hp. o. ab - = a • D • a& n ab - = A • D • Ts.}


§ 5. Assiomi V, VI, VII.


Assioma V.


1. a, b ∈ 1. ⊃. ab = ba.

Teoremi.

2. a, & e 1. o. a’& = ba!.

{Hp: o: x e a’&.=. b e a#?. =. b e #a. =. x e &a’: q Ts}

3. a,&6l./jeKl:o:&e^. =.ae &’ft. JHp. §3 P7: o: & e

a’ft. =i. ft n a& - = a • = • h ^ &# - = A • = «e &’ft: o. Tsj

4. a, &, e, d e 1. o: ab n ed - = a • =. a e b f cd. =. & e a’cd. =. e e d’a&. =. d e c’a&.

5.». o: a r b n ed - = a • = • «e & (ed)’. =. & e aed. =. e e d’a’b. — .de da!b.

6.».o:a r bnc r d- = ^.=:.aeb (c’d) r. =.ì?eac r d.=.ced(a f b)’. =.deca f b.

7. h,keKl.o.hk = M.

8.». o. h’h = M’. [p. 5 modifica]

Assioma VI.


9. a, b e 1. o. a — e ab.

Teoremi.


10. a, b e 1. o. b - e a&. JHp. P9. PI: o: & - e ba.ba=ab:oTs{

11. a,6€l.C€a&:D:c- = a.c-=&. JPU =: P9. P10{

12. a, & e 1. e e db: o: e - = a. e - = b. a - = b. )P12 =:P11.§4P7{

13. a e 1. o. a! a = A

14. a e 1. o. a! 1 = A

15. a e 1. ft e K 1: o. a — e ah.

Assioma VII.


16. a, b e 1. a — = b: o. a’b — = A

Teoremi.


17. a, & e 1. o ’ a’b = A • = • a = b. JP17 =: P16. P13 j

18. a, bel. a — = b:, j.be aalb.

{Hp. o. a f £ - = a • D • #’& ° #’& - = A • D • Ts}


§ 6. Assioma VIII.


1. a, &, e, d e 1. e e ad. b e ac: o. b e ad.

Teoremi.


2. a, e, del.cead:o.acoad |P2 = P1(

3. a, b e 1. e e a&: o. ac o a&. )P3 = & [d] P2(

4.»»:o-cboab. }P4 = (a, &) [&, a] P3(

5.»»:o.aevc^cb^ab )P5 =:P3.P4j

6. a, & € 1. e e a&. d e ac: o. ed o a&. JHp. P3. P4: o. ed o ac. ac o a&: o. Tsj

7. a, & e 1. e e a&: o. e e a’ ab. {Hp. q: e - = a: o: ac - = a • «e o a&. o: ac n ab - = a: D • Ts}

8. a,&€l.o.a&oa r a^. {P8 = P7} [p. 6 modifica]9. a,C€l.&ea f c:o.&ea’ac. {P9 = P8}

10. «,&el.o.^oato. {P10 = P9}

11. a, b e 1. a — = b: o. ab u b u a! b o a f a??.

JP11 =:P8.P10.§4P12;

12. a, b, e e 1. b e ac: o. a’c o a’&. {P12 = P1}

13. a, e € 1. b e ac: o. & e aa’c.

ÌHp. §4 P6: o: e - = a. §5 P16:o: a r c- = ^.a’coa’b:q. Tsf

14. a, & e 1. o. a& o aa f &. {P14 = P13}

15. a, & e 1. e e a’&: o. e e aa f &. {P15 = P13}

16. a,&el.o.a’&oaa’&. {P16 = P15}

17. a, & e 1. a — = b: o. a& u & u a f & o

aalb.!P14.P16.§5P18:oP17(

18. a, b, e e 1. b e ac. e e ab: = ajHp. (6) [dj PI: o: 6 € a6. §5 PIO: o a (

19. a,&€l.o.a&na’& = A. )P19 = P18(

20. &,cel.o.c^n^c = A. )P20 = P18(

21. a,bel.o.a’br>b r a = A.’ ÌP2i = P20|

22. a, 6, d e 1. a f b n ad - = a: D. b e ad. )P22 == P1}

23. a, b, del. & € aad: o. & e ad. )P23 = P22}

24. a, & e 1. o. aab o a&. ÌP24 = P23}

25. a, &, d e 1. d e a’a’&: o. d e a’b. )P25 = P22}

26. a,&el.o.a f a’&oa f &. )P26 = P25}

27. a,&€l.a- = &:o.&€ (a&)". )Hp. §4 P9. §5 PIO: o.•. e € ab • d e c&: - = Cf d A •’• •"• ^ d e ab. & e c’d: - = c,d a •’• Ts}

28. a, b e 1. o. ab o (a&)". )Hp. x e a&: o: x - = a.a? e (a#)". a# o a&. (a#)’ f o {ab) ff: o. x e (ab)"


§ 7. Assioma IX.


1. a, d e 1. b, e e ad: o: b = e. u. b e ac. u. & e ed.

Teoremi.


2. a, d e 1. e e ad: o. ad o ac u e u ed. JP2 = P1}

3. a, & e 1. e e a&: o. ab o ac u e u c&. )P3 = P2}

4. a, & e 1. e e ab: q. a& = ac u e u c&. )P4 =: P3. §6 P5} [p. 7 modifica]5. a, de1.bead.cebd:o.beac. {Hp. §6 PI P18: o: a, d e 1. b, e e ad. b - = e. b - e ed. PI: o. Ts}

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

a, d e 1. b e ad: o. &d o a’&. JP6 = P5( a, & e 1. e e a’&: o. &c o a’&. JP7 = (e) [d] P6j a, & e 1. e e a’&: o. bc u e u a f c o a’&. )P8 =: P7. §6 P12( a, b e 1. e e a’&: o. bc n a’b - = aJHp. o: e - = &. bc - = a • &c o a’&: o Tsj a, & € 1. e e a’&: o. e e Va’ti. JP10 = P9j a, & € 1. o. a’b o &’a’&. )Pli = PlOj a, e e 1. & e ac: o. ac n a r b — — aJHp. P9: o: bc o ac. &c n a’& — = a •’ • Ts J a, e e 1. & € ac: o. & € aac. SP13 = P12( )P14 = P13( )P15 = &[c]Pi4{ JP16=:P15.§6P24( JP17=:P12j JP18 = P17( JP19 =: P18. §6 P26( a, e e 1. o. ac o «ac. a, & € 1. o. ab o aab. a, & e 1. o. aa& = a&. a, b e 1. e e a’&: o. e e a r a’&. a, & e 1. o. a’b o a f a’&. a, b € 1. o. a’ a’b = a’b. ael.fteKlio. aak = afe.»»: o. a’a’h = a f ft. &, d e 1. c e bd: o. $’& o c’&. a, & e 1. e e a’b: o. a’c o b’c. JP a,bel.cea’b:o.b r cna r b- = a)Hp. P23. §6 P12: o: a’c - = a • «’e o &’c. a’c o a’b: o. Ts JP22 = P5J: (a, &, e) [&, e, d] P22j a, &€l.cea’&:o.ce&&a f. a, & e 1. o. a f & o &&a f. a, &, e e 1. a’b n b’c - = a • • b e ac. a, & € 1. e e &&a f: o. e e &a’. a, &€l.o.&&a’o&a’. a, & e 1. o. &&a’ = &a ael.fteKl:^. aaft’= afe’. a, e e 1. e e ae. & e ac. d e ce: o. e e bd. JHp. P5: o: e e &e. b e ce: o. Tsj a, e e 1. e e ae. & € ac. b e ce: = aJHp. b [d] P 32: o: e e &&. §4 P3: aJ JP30 JP25 = P24j JP26 = P25( JP27 = P5( )P28=P27( JP29 = P28( =:P29.P26( [p. 8 modifica]34. a, eel.ceae:o.acnce = a- {P34=P33}

35. a, b e 1. e e ab: o. ac n cb = A- JP35 = P34}

36. a, b e 1. o. a’b o (a&)". jHp.xea’bi^.-.ceab.debc:

- = C)d K •’• D •*• e, d e a&. a? e cta: — = c,d A •’• D • # e (a&)"(

37. a 9 bel.a — = b:^.b’a^auab^bua’bo (ab)".

{P36.§6P27P28:oP37}

38. aei.feeKl.a- e ft: o. ft’a <~> a u afe u ft u a r k q (afe)".

39. a, &, e e 1. a — e &c: o. (&c)’a u a u a&c u fre u a’&c o (abc)".

40. a,bel.cea’b.deaco.deabvbv a’b.

)Rip. PI. P7:o:d cab ub^bc. beo a’b:>j.Ts

41. a, & e 1. d e aa f b: o. e? e ab u & u a’&. )P41 = P40}

42. a, & e 1. o. aa’& oa&u&u a’&. JP42 = P41}

43. a, & e 1. a - = b: o. aa’& = abub^ a’b. )P42.§6P17:oP43( 44. ael.fceKl.a — e7r:o. aa’fr = aft ub a’fr. 45. a,b el.c,deab:Q.cd^ab. jHp.d~c.§4P4:o.Ts. (a) Hp.deac.§6P6:o.Ts. (p) Hp. d e cb. (a, b) [&, a] (P): o Ts. (r) Hp.Pl.(a)(p)( T ):o.Ts.( 46. a, b e 1. o. ab e Cnv. ÌP46 = P45( 47. a,bel. r j.auabe Cnv. 48:». q.au^u&eGnv.


§ 8. Assioma X.


1. a,bel.c,de.a, b: t d:c = d. u.dzbc. u.cebd.

Teoremi.


2. a,bel.cea’b:>3.a r bobcucu Ve. JP2 = Pij

3. a, & e 1. e e a’&: o. a’b o &c u e u a’c. )P2. §7 P23: o P3j

4. a, & e 1. e € a r &: o. a’b = be u e u a’c. JP4 =: P3. §7 P8 j

5. a, & e 1. e e a’b: o. a’& o ac u e u a’c.

JHp. P4. §6 P3: o: a’& = &c u e u a f c. &c o ac: o. Tsj

6. a, & e 1. e, tf e a’&: o. d e ac u e u a’c. {P6 = P5} [p. 9 modifica]7. a, e, d e 1. ac n ad — = a • • ^ € ac u e u a’c. JP7 = P6}

8. a, e el.de dae: o. <2 e ac u e u de. JP8 = P7}

9. a, e e 1. o. a’ac o ac u e u a’c. JP9 = P8}

10. a, & e 1. o. dab oa&u&u db. SPIO = P9}

11. a, & e 1. a — = &: o. a f a& = abvbu db.

|P10.§6Pll:oP11}

12. a,bel:v.a’ab = aa’l). JP11.§7P43: oP12}

13. aei.fteKi:Q. a’afe = aa r /c.

14. a, & e 1. e, 6? e a’b: o. ce? o a f &.

JHp. e = d: o: ed = a: Ts. (a)

Hp. a e bc. §6 P3. §7 P7: o: ed o &c. oc o a’&: o Ts. ( P)

Hp.ce&rf.(c,^)[tf,c](P):o.Ts. (r)

Hp.Pi;(a)(P)( T ):D.Ts.(

15. a,&el.o.a’&eCnv. jP15 = P14}

16. a, b e 1. o. b u a’& e Gnv. )P16 =: P15. §7 P7}

17. a, &, e e 1. & € ca: o. dea = deb.

JHp. Pll. §7 P4. P3: o: dea = cavavda = cb ut ubava

u c’a = c& <-» & u c r cò: o Ts}

18. a, &, e e 1. b e da: o. c’ea = c’c&. JP18 = (&, a) [a, b P17}

19. a, e e 1. b e dea: o. dea = deb. JP19 =: P17. P18}


§ 9. Assioma XI.


1. a, b, e, d e 1. b e ac. e e bd: q. e e ad.

Teoremi.


2. a, 6, e e 1. & e ae: o. &’c o a’c. {P2 = P1}

3. a, b, e e 1. b e ac: o. b’c = de. JP3 =: P2. §7 P23}

4. a ì b ì cel.beda:^.b’c = dc. jP4 = (&,«) [a, &]P3}

5. a, e e 1. b e dea: o. Ve = de. JP3. P4. §8 Pll: o. P5}

6. a, b ∈ 1. e e ab: o. dab ^Va^a^ab^b^ db.

{Hp. §7 P4. §8 P11.P3: o:ab = ac u c u cb. cab = dac u c’c&. c’ac = ca u a u da.dcb=cb u & u db.da = b r a.db = db:O.Ts}

7. a, b ∈ 1.o. (ab) fr ob’a u a u ab u b u db. {P7 = P6} [p. 10 modifica]8. a, bel.a — = b:^. (ab)" =zVa^a^ab^b^ olì).

{P7.§7P37:o.P8}

9. a, bel.a- = b:^. (a&)" = & r &a u & u a r &.

)P8.§8Pll:o.P9}

10. a, e el.be dea: o. (ac)" = (&c)". JP9. P5. §8 P19: o P10}

11. a, e e 1. b e a r c: o. b r c=c r ca.!Hp. §8P4.P3.§8Pil:o:&’c = cauau &’a. Va = c’a. c’ea

= cauauc f a.*oTs.(

12. a, e e 1. & e a’c: o. (ac)’ r = (bc)".

JHp. Pll: Q: Ve = c’ea. a’c = c f c&: o: dea ucutó = fr’c u e u c’c&: o Tsj

13. a, e el.be (ac)". & - = e: o. (ac)" = (&c)".

jP13 =:P10.P12}

14. a, & e 1. e, d e (a&)". e - = d: o. (a&)" = (ed)". )P13 o P14}

15. re2.c,^er.c- = rf:y.r = (ed)". JP15 = P14}

16. r, s e 2. a, b e 1. a, b e r n $. a — = &: q. r = 5.

JHp. P15: o: r =z (a&)". s = (ab)": o Ts}

17. a, & e 1. o. (a&)" e Cnv. jP14oP17}

18. 2 o Cnv.

19. a, &, e e 1. a - = &: o: a, b, e e CI. =. e e (a&)".

20. a, &, e e 1. o /. a, b, e e GÌ: =: a = &. u. a = e. *->. & = e. u.

a e &c. u. b e ac. u. e e a&.

21. a, &, e e 1. d e bc: o: a, &, e e GÌ. =. a, b, d e GÌ.

22. a, b, e el.ee abe: o: a, b, e e GÌ. =. a, b, e e GÌ.


§ 10. Assiomi XII e XIII.


Assioma XII.


1. r e 2. o.*. co e 1. oc - € r: - = x A

Assioma XIII.


2. a, b, c e 1. a, &, e - e GÌ. d ebc. e e ad: o.*. feac.eebf: - = f A

Teoremi.


3. a, &, e, e e 1. a, &, e - e GÌ. bc n de - = a •. ac n Ve - — a

{P3 = P2} [p. 11 modifica]4. a, b, e, e e 1. a, &, e— e GÌ: o: &c n a’e — = a • = • ac ° &’e— = A*

{P4 =:P3.(ft,a)[a,&]P3}

5. a, ft, e e 1 - GÌ. o: e e afre. =. e e frac. )P5 = P4}

6. a,ì>,cel-C.o.abc = l)ac. )P6 — P5}

7.». o. a&c = (a&) e.

JHp. o. a (bc) = a (c&) = e (a&) = (a&)c(

8. a, &, e e 1 — GÌ. o: e e fr’a’e. =. e e a’&’e. =. e e (ab) r e. )P8 =: P5. P7}

9. a, &, e e 1 - CI. o. fc’a’c = a’&’c = (a&)’c. JP9 = P8}

10. a, b, e e 1 - GÌ.p e ab. q e ac: o. pg o a&c.

JHp. o: p# opac. pa o a&. pac o a&c: o Ts}

11. a,b,cel.a-ebc.peab.qeaco.pqo <^c.

{P10.§6Pl:o.Pll}

12. k e Cnv. a € 1. a — € fc. &, e e &.p e a&. g e ac: o.pg o afe. jHp. o: &c o fc. a - e bc.pq o abe. afre o afe: o. Tsì 13. ft e Gnv. a e 1. a - e k: o. ak Cnv. )P13 == P12( 14. a, &, e e 1. a — e bc: o. afre e Gnv. 15. a, &, e, d e 1. b — e ed. a — e fred: o. abed e Gnv. 16. k e Gnv. a e 1. a — ekiQ.akuke Gnv. 17. & e Gnv. a e 1: o. a u ak e Gnv. 18. & e Gnv.aeliQ.aua&u&e Gnv. 19. a, &, e e 1 — GÌ. d e bc. e e ad. x e & r e: o. xeadc ^acu b’ac. ÌHp^io.-.feac’.ee&f:- — rA. (a) Hp. f e ac. /*€ &’e: o: Ve = ef» fu b’f.efo abe. fo ac. 67 D fc’ac:o.Ts. (p) Hp.(a)(P):.Ts( 20. a, &, e e 1 - GÌ. d e bc: o. & f ad o ade u ac u &’ac. )P20 = P19( 21. a, &, e e 1 - CI. o. &c f o (afre)". )Hp.o.a&- = A- (a) Hp.p e ab. a; e be’: o. # f p n ac - = a- (P) Hp. ^ e ab. # e &c r. q e ac. q e # r p: o:pq o a&c. a? € (m)" • (M) r ’ (abe)": o*oo e (abe)". (t) Hp. x e &c’. (a) (P) (t): o. x e (afrc)".( 22. a, &, cel — Gl.o.au&ucua&u... ua f 6 u... uafre u a’bc^... u a’&’c u... o (a&c)". )P21. §7 P39: o P22( [p. 12 modifica]23. a, b, c e 1 - Cl. o.(bc)" o (abc)".

24. a, b, c e 1 - Cl. r = (bc)": o. aV o (abc).

25. pe3.re2:o.#ep.x-€r:- = a?A

{Hp. a, b, c e 1 - Cl.p = (abc)".a - e r: o. Ts. (a)

» ». a e r. b — e r: q. Ts. (3)

» ». a € r. fr e r: o: e — e r: o.

Ts. (T)

Hp.(a)(P)(T):DTs.}

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.



a, fr, cel — GÌ.perciò JHp. o. bc u a’p — = aHp. d e bc. d e a’p: o: fre afre — p upa upa& <->pfr upfrc upc (a) bd^dvdc. afre = afrd u ad u ade.pead.ad = apu2)u23d. abd=bap u £rp u frpd. ade = cap <-» ep u cp^.p&c =pbd vpd updc: q. Ts. (P) Hp.(a)(P):r)TS.:: g:.p’g n (a <-> afr u fr u fre u (a) (W a, fr, e e 1 - GÌ. p, q e afre. p -: e u ed) — = aJHp. P26: o: q ep (a u ab u b u fre u e <-> ca): o Ts.j re2.ael.a— e r. fr e r. e e fr’a. d e a’r: o. d e dr. JHp. o. r n a<^ - = aHp. e e r. e e ad. e = b: o: d e a’fr. a’fr = c’fr: o. Ts. Hp. eer.ee ad. e-:=fr:o. a, fr, d — e GÌ.r~{be)’ r.b’er>dc - = A L:o:rndc- = jL:o.Ts. ( r ) Hp.(a)(P)(r):oTs.j re2.ael.a-er.frer. ce fr’a: o. a’r o c’r 5 p 29 = p 28j re2.cel.c-er.aecrro.aVo cV. )P30 = P29( a, fr, e e 1. — GÌ.p e afre: o.p’abe o a u... u afr u... u a f fr u... u afre u a’frc u... u a’fr’c u... JHp. o.p’pa =pa u a u p’a o afre u a u fr f c f a. Hp. o.p f pafr =pab u ab vp’ab o afre u afr up’(afr)". Hp.o.p’W’oc’W’. Hp.(a)(P)(r):oTs.( a, fr, e e 1 — CI: o. (afre)" = a u fr u e u afr u ac <j fre u a f fr u afr’u fr’e u cfr r u c r a u ac’u afre u a’frc <~» fr’ca u c’afr <-> a’&’c <~> fc’c’a ue’a’fr. )P22.P31:o.P32j (a) (P) (T) [p. 13 modifica]33. a, &, c e 1 - GÌ. o. x e (abc) fr: =: a, b, x e GÌ. u. a, e, a? e GÌ. u. &, e, x e GÌ. u. x e a&c,u.ae bcx. u. 2? e aca?.u.ce afor. u. ax n &c — — a • ° • &# n ac — = a • u • e® n ab — = A


§ 11. Assioma XIV.


1. a, &, cel.a, &, e — e GÌ.dzbc.ftac’d.’.eead.eebf: — = e ^

Teoremi.


2. a,b,d,fel.a,b,d-eGl.Vdna r f-- = A L:o.adnbf-==:.

{P2 = P1}

3. a, &, d e 1 - GÌ. fé a r bd: o. f e &’ad. JP3 = P2}

4. a, &, e e 1 — GÌ. o. a&’c o b’ac.

5. a, &, cel — Cì.pea’b.qea’c ^.pq^a r bc.

{Hp. o: pg opa’c.pa’c o a’pc. pc = cp o ca f &. ca f & o a’c&: o •M o a’pc.pc o a’cfr. a f pc q a’cb: o Ts}

6. ft e Gnv. a e 1. a — e ft: o a’ft e Cnv.

7. ft e Gnv. a e 1. a — e ft: o. ah u ft u a’ft e Cnv.

{Hp. P6. §10 P13: o: aa’h e Gnv. §7 P44: o Ts}

8. h e Gnv.ael.a — eh:o.hva r he Cnv.

9. a, &, e e 1 — GÌ.p e Va. g e c f a: o.pq o ò’c’a.

{Hp: o:jpg opc’a o dpa o c’&’a: q Ts}

10. # e Gnv. a e 1. a — e ft: o. ft’a e Cnv.

11. a, b, e e 1 — GÌ. d e &c: o. a^c o Vad.

{Hp.QiceW.dco &’d. ade o a&’d o fr’ad: o. Ts}

12. a, &, e e 1 — GÌ. d e bc: o. ac o fr’atf.

{Hp. o: e e &’d. ac o a&’d o fr’ad: o Ts}

13. a, b, e e 1 — GÌ. d e &c: o. &’ac o &W.

{Hp. o. ac o & f a$. o. b’ac o &’& r ad = fr’ad. o. Ts}

14. a, &, e e 1 — GÌ. d e &c: o. ade u ac u f/ac o &’ad.

{P14 =:P11.P12.P13}

15. a, b, e e 1 — GÌ. d e bc: o. fr’ad = a^c u ac u & f ac.

{P15 =:P14.§10 P20}

16. a, b, c ∈ 1 — Cl. dbc: ⊃. d’ab = c’abc’ac’d’a.

{Hp: ⊃: xd’ab. =. a ∈ & f a?c?. =.a ∈ (x dc u^cu & f a?c). — x e (c/d’a <-> c f a u c’aò): q. Ts} [p. 14 modifica]17. a, b, e e 1 - GÌ. d e be: o. (a&c)" = (a&d)".

{Hp. o: &c = &d u d u efe. a&c = abd ^ad u atfc. a’&c = a’&d u a’d u a r ^c. & f c’a = Vd’a u d f a u c^’c’a.

».^d, b = e r b.a’d t b = a T e f b.

».^:b r d=^bd^d^b r c. a’&’d = a’M u a’d <j aVc.

». o: & r a$ = ade u ac u Vae.

». o: d r ab = c r ^& u c f a u c f ^ f a.

Hp.o.Ts.}

18. a, 6, e e 1 - GÌ. di e {be)". d - = &: o. (a&c) ff = (aM)".

19. a, b, e e 1 - GÌ. e? e abe: o. (a&c)" = (a&d)".

{Hp.p e be. d e ap: o. (a&c)" = (abp) n = (abd) n [

20. a, b, e e 1 - GÌ. d e albe: o. (abe)" — (abd)".

21. a, &, e e 1 - GÌ. d e (a&c) fr. d - € (a&) f f: o. (abc),r = {abdf.

22. a, &, e e 1 - GÌ. d, e e (a&c)". a, d, e - e GÌ: o. (a&c)" = (ade)".

23. a, &, e e 1 - GÌ. d, e, fé (abe)". d, e, f- e GÌ: o. (a&c) rf = (<teO".

24. p e 3. a, &, e ep. a, &, e - e GÌ: o.p = (abe)".

25. p, g e 3. a, &, e ep n g. a, &, e - e GÌ: o.p = q.

26. 3 o Cnv.

27. a, &, e, d € 1. a, &, e - e GÌ: q. a, &, e, d e Gp. =. d e (abe)".

28. a, &, e, d e 1. o.*. a, &, e, 6? e Gp. =: a, &, e e GÌ. <-». a, b, d e GÌ. <j. a, e, d e CI. <j. &, e, tf e CI. u. a e &c$. u. b e ac$. u. e e a&<2. u. d e abe.u. ab n ed — = k.v.acn bd — = &-<->. adnbc — = k

29. pe3.re2.a, &epnr.a-:=&:o.r op.

30. re2.ael.a- er.&er.ce&’a.dec’rrQ.tfe all’.

31. r e 2. e e 1. e - e r. a e cr: o. c r r o all’. )P31 = P30}

32. re2.cel.c- er.aecri^. all’= cV.

{P32 =:P31.§10P30}

33. r e 2. a e 1. a - e r. b e rV a: o. «V = &’r.

34. re2.ael.a-er.cea f r.&ecV:o.&e rV a.

35. r e 2. a e 1. a — e r. b e r’r a: q. r r r a ~ r f r b.

36. re2.ael.a- er:o. (ar) n e 3.

37. » »: o. (ar) n =zr^ra r ^r r ra.

38. pe3.ael.a — ep.& ep’p a: o.a r p=. b f p.

39. » ».eea’p.b ec’pio.bep r p a.

40. » ».bep’pa’.Q.p’pa~p r pb. [p. 15 modifica]

§ 12. Assiomi XV e XVI.


Assioma XV.


1. p ∈ 3. ⊃.*. a ∈ 1. a — ∈ p: — = a ∧.

Assioma XVI.


2. p ∈ 3.ael.a-ep.&ea’p.#el:o:#ep.u.a#np — = ∧.

Teoremi.


3. p ∈ 3. a e 1. a - ep. & € dp. e e 1: o. p <~> («e u e u cb) - = A

{P3=P2}

4. p, ge3.aepng:Q.-.re2.r opng: — ~ r ^. {Hp.o. &e#.fr-:=a:-=& a- ( a ) Hip.beq.b- = a.bep:o (a&)" e 2. {ab)" op n g: o Ts. (0) Hp. & e g. & - ep: o.*. e e g. e - e (ab)": - = c A- (t) Hp. & - = a: o: d e &’a. - =a A- (&) Hp. b e 1. b - e p. d e &’a. e e 1: o.*. x e p. x e (&c u e u ed): - = *A- 00 Hp.&eg. &-ep.ce#.c-e (a&)". d e &’a. x e p. x e (bc u e oc-=:a. (ax) n e 2. (a#)" op n q: q. Ts. (0) Hp.&€ff.&-€jp.(T)(b)(n)(e):D.Ts. (X) Hp.(a)(fJ)(X):.Ts.|