Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.1

by Maurizio Loreti

10.1 Risultato della misura

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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10.1 Risultato della misura

Innanzi tutto, è chiaro che il valore vero $F^{*}$ della grandezza F è quello che corrisponde ai valori veri delle variabili indipendenti da cui F dipende:

$F^{*}=F(x^{*},y^{*},z^{*},\ldots )$.

(10.1)

Non avendo però a disposizione tali valori veri, tutto quello che possiamo fare è usare le migliori stime di cui disponiamo: cioè, supponiamo, i valori medi di campioni di determinazioni ripetute di tutte queste grandezze; insomma, calcolare il valore ${\bar {F}}$ assunto dalla funzione in corrispondenza dei valori ${\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots$ delle variabili.

Ricordiamo che il valore di una funzione di più variabili F in un qualsiasi punto si può ricavare dal valore assunto dalla F e dalle sue derivate successive in un punto diverso, attraverso la formula dello sviluppo in serie di Taylor:

$F(x,y,z,\ldots )$	$=F(x_{0},y_{0},z_{0},\ldots )+$	(ordine zero)
	$+{\frac {\partial F}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(y-y_{0})+\ldots$	(primo ordine)
	$+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}+\ldots$	(secondo ordine)
	$+{\mathcal {O}}(3)$

(in cui per brevità si è omesso di indicare che le derivate parziali vanno calcolate per i valori delle variabili $x=x_{0}$, $y=y_{0}$ e così via).

Se è possibile trascurare i termini di ordine superiore al primo, possiamo in particolare ricavare:

${\bar {F}}$	$=F({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )$
	$\approx F(x^{*},y^{*},z^{*},\ldots )+{\frac {\partial F}{\partial x}}({\bar {x}}-x^{*})+{\frac {\partial F}{\partial y}}({\bar {y}}-y^{*})+\ldots ~~$.

Prendendo poi il valore medio di entrambi i membri e tenendo presente nei passaggi sia la (10.1), sia che risulta $E({\bar {x}}-x^{*})=E({\bar {x}})-x^{*}\equiv 0$ in assenza di errori sistematici (e similmente per le altre variabili), si ottiene

$E\left\{F({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )\right\}$	$\approx F^{*}+{\frac {\partial F}{\partial x}}E({\bar {x}}-x^{*})+{\frac {\partial F}{\partial y}}E({\bar {y}}-y^{*})+\ldots$
	$=F^{*}$

cioè

$E({\bar {F}})\approx F^{*}$

e, in definitiva:

In media, il valore di una funzione F calcolato per le medie misurate delle variabili coincide col valore vero. (ossia ${\bar {F}}$ è una stima imparziale di $F^{*}$).

Ricordiamo che questa conclusione è valida solo approssimativamente, perché nello sviluppo in serie di Taylor abbiamo trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; ma quali sono i limiti della validità della conclusione? In quali casi si possono cioè effettivamente considerare trascurabili i termini del second’ordine e degli ordini superiori?

Ognuno dei termini di ordine i nello sviluppo di F contiene una delle derivate i-esime della funzione, moltiplicata per un fattore del tipo $({\bar {x}}-x^{*})$ elevato alla i-esima potenza e divisa per il fattoriale di i; sarà senz’altro lecito trascurare questi termini se le differenze tra i valori medi stimati per le variabili indipendenti ed i loro valori veri sono piccole, in altre parole se gli errori commessi nelle misure dirette sono piccoli.

Un caso particolare è poi quello in cui la F è una funzione lineare in ognuna delle variabili da cui dipende; in questo caso, ovviamente, tutte le derivate di ordine successivo al primo sono identicamente nulle, e le conclusioni precedenti sono valide esattamente.