Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.2

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10.2 Combinazioni lineari di misure dirette

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10.2 Combinazioni lineari di misure dirette

Supponiamo che le misure dirette delle variabili indipendenti da cui dipende la F siano esenti da errori sistematici, e che siano pertanto distribuite secondo la legge normale; consideriamo dapprima quelle particolari funzioni che sono le combinazioni lineari di più variabili:

.

Abbiamo già visto, nell’equazione (5.2) a pagina 51, che il valore medio di una tale funzione è la combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle medie delle variabili; e, se supponiamo inoltre che le variabili siano tutte statisticamente indipendenti tra loro, sappiamo anche che la varianza di F è poi data (equazione (5.5) a pagina 54) dalla combinazione lineare delle loro varianze con coefficienti pari ai quadrati dei rispettivi coefficienti:

e

.

Abbiamo inoltre dimostrato, a pagina 103, un teorema secondo il quale una qualsiasi combinazione lineare a coefficienti costanti di variabili casuali [p. 164 modifica]aventi distribuzione normale, ed inoltre tra loro statisticamente indipendenti, è anch’essa distribuita secondo la legge normale.

Ora, sapendo che la distribuzione della F è data dalla funzione di Gauss, siamo anche in grado di attribuire un significato più preciso al suo errore quadratico medio : quello cioè di semiampiezza dell’intervallo, avente centro sul valore medio , che contiene un qualsiasi valore della F (ed in particolare la nostra miglior stima ) con una probabilità del 68%; o, di converso, la semiampiezza di un intervallo centrato sulla nostra migliore stima e che contiene l’ignoto valore vero con una probabilità del 68%.

In definitiva le formule precedenti risolvono il problema delle misure indirette per quelle particolari funzioni che sono le combinazioni lineari, permettendoci di calcolare per esse sia il valore stimato più verosimile che l’errore, e dandoci inoltre l’interpretazione probabilistica di questo errore.