Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.4

by Maurizio Loreti

10.4 Errore dei prodotti di potenze

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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10.4 Errore dei prodotti di potenze

Applichiamo ora la formula (10.2) di propagazione degli errori a quella particolare classe di funzioni costituita dai prodotti di potenze delle variabili indipendenti: cioè alle funzioni del tipo

$F(x,y,z,\ldots )=K\cdot x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\cdot z^{\gamma }\cdots ~~$.

Calcoliamo innanzi tutto le derivate parziali di F; risulta

$\left\{{\begin{array}{rcccl}{\dfrac {\partial F}{\partial x}}&=&K\cdot \alpha \,x^{\alpha -1}\cdot y^{\beta }\cdot z^{\gamma }\cdots &=&\alpha \,{\dfrac {F}{x}}\\[3ex]{\dfrac {\partial F}{\partial y}}&=&K\cdot x^{\alpha }\cdot \beta \,y^{\beta -1}\cdot z^{\gamma }\cdots &=&\beta \,{\dfrac {F}{y}}\\[3ex]\cdots &&&&\end{array}}\right.$

(ammettendo che nessuna delle variabili sia nulla; questo implica che anche la F abbia valore diverso da zero). Introducendo questi valori delle derivate nella formula di propagazione degli errori, avremo

${\sigma _{F}}^{2}$	$\approx \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}{\sigma _{x}}^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}{\sigma _{y}}^{2}+\cdots$
	$=\alpha ^{2}\,{\frac {F^{2}}{x^{2}}}\,{\sigma _{x}}^{2}+\beta ^{2}\,{\frac {F^{2}}{y^{2}}}\,{\sigma _{y}}^{2}+\cdots$

ed in definitiva

${\Biggl (}{\frac {\sigma _{F}}{F}}{\Biggr )}^{2}\approx \alpha ^{2}{\Biggl (}{\frac {\sigma _{x}}{x}}{\Biggr )}^{2}+\beta ^{2}{\Biggl (}{\frac {\sigma _{y}}{y}}{\Biggr )}^{2}+\cdots$;

relazione che permette di ricavare con semplici calcoli l’errore relativo di F dagli errori relativi commessi nella misura delle variabili indipendenti. Per quanto detto in precedenza, questa relazione è solo una prima approssimazione; e possiamo ritenerla valida se le variabili indipendenti sono misurate con errori piccoli.