Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.4.2

by Maurizio Loreti

11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura

../11.4.1 ../11.4.3 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura

◄

11.4.1

11.4.3

►

11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura

È da osservare come nelle formule (11.10) dei minimi quadrati non compaia il valore di $\sigma _{y}$: la soluzione del problema dell’interpolazione lineare è indipendente dall’entità degli errori di misura, nel senso che i coefficienti della retta interpolante possono essere calcolati anche se gli errori sulle $y$ non sono noti (purché naturalmente si assuma che siano tutti uguali tra loro).

Se non è a priori nota la varianza delle $y$, essa può però essere stimata a partire dai dati stessi una volta eseguita l’interpolazione lineare; infatti gli stessi ragionamenti fatti per le variabili casuali unidimensionali potrebbero essere ripetuti (con le opportune modifiche) sul piano, per giungere a risultati analoghi.

In una dimensione abbiamo a suo tempo potuto collegare l’errore commesso alla dispersione dei dati rispetto al valore stimato della grandezza misurata; sul piano è in effetti ancora possibile calcolare l’errore commesso, partendo dalla dispersione dei dati misurata rispetto alla retta stimata che passa attraverso di essi: dati disposti mediamente lontano da questa retta indicheranno errori maggiori rispetto a dati ben allineati (e quindi vicini alla retta interpolante).

In una dimensione abbiamo visto che la dispersione dei dati, misurata dal valore medio del quadrato degli scarti rispetto alla loro media aritmetica (nostra migliore stima per la grandezza misurata), era sistematicamente in difetto rispetto alla corrispondente grandezza riferita all'intera popolazione delle misure. Sul piano si può, analogamente, dimostrare che il valore medio del quadrato delle distanze dei punti misurati dalla retta nostra migliore stima è ancora sistematicamente in difetto rispetto alla varianza riferita alla popolazione delle misure ed alla retta vera che corrisponde alla legge fisica reale che collega le due variabili.

Così come abbiamo dimostrato che, al fine di correggere questa sottostima (in media) per le misure ripetute, occorre dividere la somma dei quadrati degli scarti per $N-1$ invece che per $N$, si potrebbe analogamente dimostrare che una corretta stima dell’errore dei punti misurati si ha, in media, dividendo l’analoga somma per $N-2$; in definitiva, che la corretta stima di $\sigma _{y}$ è data dalla formula

${\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}{\Bigl [}\left(a+bx_{i}\right)-y_{i}{\Bigr ]}^{2}}{N-2}}$.

In essa a numeratore compare la somma dei quadrati dei residui, cioè delle “distanze” dei punti misurati $(x_{i},y_{i})$ dalla retta interpolante di equazione $a+bx$ calcolate secondo la direzione parallela all’asse delle ordinate. Questa formula¹ permette una corretta stima dell’errore dei dati interpolati, qualora sia impossibile (o scomodo) determinarli per altra via; l’errore è stimato dai residui dei dati sperimentali, ed è quindi scientificamente affidabile.

Il fatto che la corretta stima dell’errore si ottenga dividendo per $N-2$ invece che per $N$ deve essere messo in relazione con il fatto che gli scarti, invece che rispetto al valore vero, sono calcolati rispetto ad un valore stimato che dipende da due parametri, che sono a loro volta stati preventivamente determinati sulla base dei dati sperimentali: cioè i due coefficienti $a$ e $b$ dell’equazione della retta.

Nell’analogo caso della stima dell’errore quadratico medio di una variabile casuale unidimensionale, gli scarti erano calcolati rispetto ad un valore che, unica grandezza necessaria, veniva preventivamente determinato sulla base delle misure: appunto la media aritmetica.

In generale, disponendo di $N$ dati sperimentali dai quali possiamo determinare un valore dell’errore quadratico medio che dipende da $M$ parametri che debbano essere preventivamente derivati dai dati stessi, la modifica da apportare alla formula per ottenere una corretta valutazione dell’errore della popolazione consiste nel dividere la somma dei quadrati degli scarti per un fattore $N-M$.

Note

1. Una formula equivalente (ma più semplice) per il calcolo di $\sigma _{y}$ si può trovare nell’equazione (C.8) alla pagina 264.