Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.5

by Maurizio Loreti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità

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13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità

Nel paragrafo 11.5 abbiamo preso in considerazione il caso di un evento casuale che si può manifestare in un numero finito $M$ di modalità, aventi ognuna probabilità incognita $p_{i}$; la stima di massima verosimiglianza delle $p_{i}$ è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di ogni modalità, $n_{i}$, ed il numero totale di prove, $N$.

Vogliamo ora applicare il metodo del rapporto delle massime verosimiglianze per discriminare, sulla base di un campione di determinazioni indipendenti, l'ipotesi nulla che le probabilità abbiano valori noti a priori e l'ipotesi alternativa complementare, $H_{a}\equiv {\hat {H}}_{0}$:

${\begin{cases}H_{0}\equiv \left\{p_{i}=\pi _{i}\right\}&(\forall i\in \{1,2,\ldots ,M\})\\H_{a}\equiv \left\{p_{i}\neq \pi _{i}\right\}&(\exists i\in \{1,2,\ldots ,M\})\end{cases}}$

Ricordiamo che la funzione di verosimiglianza, a meno di un fattore moltiplicativo costante, è data da

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\prod _{i=1}^{M}{p_{i}}^{n_{i}}$

e che, essendo la stima di massima verosimiglianza data da

${\widehat {p}}_{i}={\frac {n_{i}}{N}}$

il massimo assoluto di ${\mathcal {L}}$ è

${\mathcal {L}}({\widehat {S}})\;=\;\prod _{i=1}^{M}\left({\frac {n_{i}}{N}}\right)^{n_{i}}\;=\;{\frac {1}{N^{N}}}\prod _{i=1}^{M}{n_{i}}^{n_{i}}$.

Inoltre, nell'unico punto dello spazio dei parametri che corrisponde ad $H_{0}$,

${\mathcal {L}}({\widehat {R}})=\prod _{i=1}^{M}{\pi _{i}}^{n_{i}}$

per cui

$\lambda \;=\;{\frac {{\mathcal {L}}({\widehat {R}})}{{\mathcal {L}}({\widehat {S}})}}\;=\;N^{N}\prod _{i=1}^{M}\left({\frac {\pi _{i}}{n_{i}}}\right)^{n_{i}}$

dalla quale si può, come sappiamo, derivare una generica regione di rigetto attraverso la consueta ${\mathcal {R}}_{k}\equiv \{\lambda <k\}$.

$-2\,\ln \lambda \;=\;-2\left[N\,\ln N+\sum _{i=1}^{M}n_{i}\left(\ln \pi _{i}-\ln n_{i}\right)\right]$

è inoltre asintoticamente distribuita come il $\chi ^{2}$ a $M-1$ gradi di libertà (c'è un vincolo: che le $n_{i}$ abbiano somma $N$), e questo può servire a scegliere un $k$ opportuno (nota la dimensione del campione) una volta fissata $\alpha$.

Il criterio di verifica dell'ipotesi dato in precedenza consisteva nel calcolo del valore della variabile casuale

$X=\sum _{i=1}^{M}{\frac {\left(n_{i}-N\pi _{i}\right)^{2}}{N\pi _{i}}}$

e nel suo successivo confronto con la distribuzione del $\chi ^{2}$ a $M-1$ gradi di libertà; lo studio del rapporto delle massime verosimiglianze porta dunque ad un criterio differente e, senza sapere nulla della probabilità di commettere errori di seconda specie, non è possibile dire quale dei due risulti migliore (a parità di significanza).