Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.4.1

by Maurizio Loreti

3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica

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3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica

Dalla definizione assiomatica è possibile ricavare, come abbiamo già prima accennato, le stesse leggi cui siamo giunti a partire dalla definizione empirica. Infatti:

• Essendo ${S}\cup \emptyset ={S}$, la proprietà 3 (applicabile perché $S\cap \emptyset =\emptyset$) implica $p(S)+p(\emptyset )=p(S)$; da cui ricaviamo, vista la proprietà 2,

$p(\emptyset )=0.$

• Se $A\supset B$, essendo in questo caso $A=B\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)$, applicando la proprietà 3 (il che è lecito dato che $B\cap \left(A\cap {\bar {B}}\right)=\emptyset$) si ottiene $p(A)=p(B)+p\left(A\cap {\bar {B}}\right)$; e, vista la proprietà 1,

$A\supset B\quad \Rightarrow \quad p(A)\geq p(B).$

• Dati due insiemi $A$ e $B$, visto che qualunque essi siano valgono le seguenti identità:

$A$	$=$	$(A\cap B)\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)$
$B$	$=$	$(A\cap B)\cup \left({\bar {A}}\cap B\right)$
$(A\cup B)$	$=$	$(A\cap B)\cup \left(A\cap {\bar {B}}\right)\cup \left({\bar {A}}\cap B\right)$

e applicando a queste tre relazioni (dopo aver verificato che gli insiemi a secondo membro sono tutti disgiunti) la proprietà 3 e sommando e sottraendo opportunamente i risultati, si ottiene la legge della probabilità totale nella sua forma più generale:

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

Definendo poi $p(E\vert A)$ (con $p(A)\neq 0$) come

$p(E|A)={\frac {p(E\cap A)}{p(A)}},$

(3.7)

è facile riconoscere che anche essa rappresenta una probabilità: essendo $p(E\cap A)\geq 0$ e $p(A)>0$, $p(E\vert A)$ soddisfa alla proprietà 1; essendo $S\cap A=A$, $p(S\vert A)=p(A)/p(A)=1$, e $p(E\vert A)$ soddisfa alla proprietà 2; infine, se $E_{1},E_{2},\ldots$ sono insiemi a due a due disgiunti,

$p(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \vert A)$	$=$	${\frac {p[(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )\cap A]}{p(A)}}$
	$=$	${\frac {p[(E_{1}\cap A)\cup (E_{2}\cap A)\cup \cdots ]}{p(A)}}$
	$=$	${\frac {p(E_{1}\cap A)}{p(A)}}+{\frac {p(E_{2}\cap A)}{p(A)}}+\cdots$
	$=$	$p(E_{1}\vert A)+p(E_{2}\vert A)+\cdots$

e $p(E\vert A)$ soddisfa anche alla proprietà 3. Dalla (3.7) si ottiene infine la legge della probabilità composta nella sua forma più generale,

$p(A\cap B)=p(A\vert B)\cdot p(B)=p(B\vert A)\cdot p(A).$