Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.4

by Maurizio Loreti

4.4 Giustificazione della media

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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4.4 Giustificazione della media

Stabiliamo quindi per convenzione che il nostro metodo per misurare la dispersione di un campione di dati è quello del calcolo della deviazione standard; accettiamo anche che in qualche modo questo numero sia legato all’errore presumibilmente commesso nel corso delle misure. Una definizione più precisa di ciò che si intende con le parole “errore commesso”, ovverosia l’interpretazione probabilistica dello scarto quadratico medio nei riguardi delle misure ripetute, verrà data più avanti nel paragrafo 9.3.

Comunque, una volta assunto questo, possiamo approfondire il discorso già cominciato sulla media aritmetica come stima del centro della distribuzione e quindi del valore vero di una grandezza, nel caso di misure ripetute ed in assenza di errori sistematici. È infatti possibile provare ¹ che la media aritmetica è la stima del valore vero affetta dal minimo errore casuale, cioè avente la più piccola deviazione standard.

Riferendosi a quanto prima accennato, ciò significa che le medie aritmetiche di molti campioni analoghi di $N$ misure avranno un istogramma più stretto delle mode, delle mediane e di qualsiasi altra misura di tendenza centrale desumibile dagli stessi campioni; la larghezza di tale istogramma (misurata, come abbiamo assunto, dal suo scarto quadratico medio) sarà messa in relazione con lo scarto quadratico medio delle misure da un teorema di cui ci occuperemo nel seguito. Da esso discenderà anche che l’errore statistico della media aritmetica converge a zero al crescere indefinito del numero di dati $N$. Per concludere:

1. Disponendo di più misure ripetute della stessa grandezza fisica, si assume come migliore stima del valore vero di quella grandezza la loro media aritmetica.
2. Questa stima è più precisa di quanto non lo siano le singole misure, ed è tanto più attendibile quanto maggiore è il numero delle stesse.
3. Come valutazione dell’errore commesso nelle singole misure si assume il loro scarto quadratico medio; o meglio, per motivi che verranno chiariti in seguito, la quantità ²

$\mu ={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N-1}}}$.

Note

1. La dimostrazione risale a Gauss se ci si limita alle sole operazioni lineari sui dati, e solo ad anni recenti per un qualsiasi algoritmo operante su di essi; vedi in proposito l’appendice E.
2. La differenza tra questa formula e quella prima citata non è praticamente avvertibile se $N$ non è troppo piccolo.