Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.3

by Maurizio Loreti

9.3 Lo scarto normalizzato

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

9.3 Lo scarto normalizzato

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9.3 Lo scarto normalizzato

Introduciamo in luogo dello scarto z il risultato della misura x; questo è legato a z dalla $z=x-x^{*}$ (relazione che implica anche $\mathrm {d} z=\mathrm {d} x$). In luogo del modulo di precisione h usiamo poi l’errore quadratico medio $\sigma$; la funzione di Gauss (9.2) si può allora scrivere nella forma

$f(x)={\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{\textstyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}$

Definiamo ora una nuova variabile t, legata alla x dalla relazione

$t={\frac {x-x^{*}}{\sigma }}$

$\Longrightarrow$

$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} x}{\sigma }}$.

Essa prende il nome di scarto normalizzato della x; vogliamo trovare la funzione di frequenza $\varphi (t)$ della t nell’ipotesi che la x abbia distribuzione normale. Siano $x_{1}$ ed $x_{2}$ due qualunque valori della variabile x (con $x_{1}<x_{2}$); sappiamo che

$\Pr {\Bigl (}x\in \left[x_{1},x_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!f(x)\,\mathrm {d} x\;=\;{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!e^{\textstyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-x^{*}}{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x$.

(9.3)

Siano poi $t_{1}$ e $t_{2}$ i valori per la t che corrispondono a $x_{1}$ e $x_{2}$; sarà

$\Pr {\Bigl (}t\in \left[t_{1},t_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;\int _{t_{1}}^{t_{2}}\!\varphi (t)\,\mathrm {d} t$.

(9.4)

Quando la x è compresa nell’intervallo $\left[x_{1},x_{2}\right]$, allora (e soltanto allora) la t è compresa nell’intervallo $\left[t_{1},t_{2}\right]$; pertanto la probabilità che x sia compresa in $\left[x_{1},x_{2}\right]$ deve essere identicamente uguale alla probabilità che t sia compresa in $\left[t_{1},t_{2}\right]$.

Eseguiamo sull’espressione (9.3) della probabilità per x un cambiamento di variabile, sostituendovi la t:

$\Pr {\Bigl (}x\in \left[x_{1},x_{2}\right]{\Bigr )}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\!e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t$.

(9.5)

Confrontando le due espressioni (9.4) e (9.5) (che, ricordiamo, devono assumere lo stesso valore per qualunque coppia di valori $x_{1}$ e $x_{2}$), si ricava immediatamente che deve essere

$\varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$

(9.6)

La cosa importante è che in questa espressione non compaiono né l’errore quadratico medio $\sigma$ né alcuna altra grandezza dipendente dal modo in cui la misura è stata effettuata, ma solo costanti: in altre parole lo scarto normalizzato ha una distribuzione di probabilità indipendente dalla precisione della misura.

Di questa proprietà si fa uso, ad esempio, per comporre in un unico grafico campioni di misure aventi precisione diversa: se due osservatori misurano la stessa grandezza commettendo solo errori casuali, le distribuzioni delle loro misure saranno normali; ma se gli errori commessi sono diversi, raggruppando i due insiemi di osservazioni in un solo istogramma l’andamento di quest’ultimo non è gaussiano. Però gli scarti normalizzati hanno la stessa legge di distribuzione per entrambi i misuratori, indipendentemente dall’entità dei loro errori, e possono essere cumulati in un unico istogramma.

Altra conseguenza dell’indipendenza da $\sigma$ della funzione di frequenza (9.6) di t, è che la probabilità per una misura di avere scarto normalizzato compreso tra due valori costanti prefissati risulta indipendente dalla precisione della misura stessa; ad esempio si ha

$\Pr {\Bigl (}t\in \left[-1,+1\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{+1}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.6827\ldots$

$\Pr {\Bigl (}t\in \left[-2,+2\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{+2}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.9545\ldots$

$\Pr {\Bigl (}t\in \left[-3,+3\right]{\Bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{+3}\!e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t=0.9973\ldots$

e, ricordando la relazione che intercorre tra z e t, questo implica che risulti anche

$\Pr {\Bigl (}z\in \left[-\sigma ,+\sigma \right]{\Bigr )}$	$\equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-1,+1\right]{\Bigr )}$	$\approx 0.6827$
$\Pr {\Bigl (}z\in \left[-2\sigma ,+2\sigma \right]{\Bigr )}$	$\equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-2,+2\right]{\Bigr )}$	$\approx 0.9545$
$\Pr {\Bigl (}z\in \left[-3\sigma ,+3\sigma \right]{\Bigr )}$	$\equiv \Pr {\Bigl (}t\in \left[-3,+3\right]{\Bigr )}$	$\approx 0.9973$.

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Figura 9b - Gli istogrammi relativi a due campioni di misure aventi differente precisione, e quello relativo ai dati di entrambi i campioni.

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Possiamo quindi far uso di una qualsiasi di queste relazioni per dare una interpretazione probabilistica dell’errore quadratico medio:

• Le misure affette da errori casuali (e quindi normali) hanno una probabilità del 68% di cadere all’interno di un intervallo di semiampiezza $\sigma$ centrato sul valore vero della grandezza misurata.
• L’intervallo di semiampiezza $\sigma$ centrato su di una misura qualsiasi di un campione ha pertanto una probabilità del 68% di contenere il valore vero, sempreché gli errori siano casuali e normali.