Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.2

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

9.2 Proprietà della legge normale

Informazioni sulla fonte del testo

◄

9.1

9.3

►

[p. 142 modifica]

9.2 Proprietà della legge normale

Possiamo ora, come già anticipato nei paragrafi 4.2.6 e 6.2, determinare il valore medio di una qualsiasi grandezza

W(z)

legata alle misure, nel limite [p. 143 modifica]

Figura 9a - La funzione di Gauss per tre diversi valori di h.

[p. 144 modifica]di un numero infinito di misure effettuate; questo valore medio sappiamo dall’equazione (6.2) che si dovrà ricavare calcolando l’integrale

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!W(z)\cdot f(z)\,\mathrm {d} z$

dove per $f(z)$ si intende la funzione densità di probabilità dello scarto dal valore vero, che supporremo qui essere la distribuzione normale (9.1).

Se vogliamo ad esempio calcolare il valore medio dello scarto z, questo è dato dalla

$E(z)\;=\;{\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z=0$ .

Il risultato è immediato considerando che $f(z)$ è una funzione simmetrica mentre z è antisimmetrica: in definitiva, ad ogni intervallino centrato su un dato valore $z>0$ possiamo associarne uno uguale centrato sul punto $-z$ , in cui il prodotto $z\,f(z)\,\mathrm {d} z$ assume valori uguali in modulo ma di segno opposto; così che la loro somma sia zero. Essendo poi

$E(z)\;=\;E\left(x-x^{*}\right)\;=\;E(x)-x^{*}$

abbiamo così dimostrato quanto assunto nel paragrafo (5.2), ossia che

Il valore medio della popolazione delle misure di una grandezza fisica affette solo da errori casuali esiste, e coincide con il valore vero della grandezza misurata.

Cerchiamo ora il valore medio del modulo dello scarto $E{\bigl (}|z|{\bigr )}$ :

$E{\bigl (}\|z\|{\bigr )}$	$=\int _{-\infty }^{+\infty }\!\|z\|\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$=2\int _{0}^{+\infty }\!z\,f(z)\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {2h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!z\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\!e^{-h^{2}t}\,\mathrm {d} t$
	$=-{\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}\left[e^{-h^{2}t}\right]_{0}^{+\infty }$
	$={\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}$

dove si è eseguito il cambio di variabile $t=z^{2}$ . [p. 145 modifica]

Il valore medio del modulo degli scarti è quella grandezza che abbiamo definito come “errore medio”: qui abbiamo ricavato la relazione tra l’errore medio di misure affette solo da errori casuali ed il modulo di precisione della misura h.

Il rapporto invece tra l’errore quadratico medio ed h si trova calcolando il valore medio del quadrato degli scarti:

$E{\bigl (}z^{2}{\bigr )}$	$={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!z^{2}\,e^{-h^{2}z^{2}}\,\mathrm {d} z$
	$={\frac {1}{h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t^{2}\,e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} et$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!t\cdot \mathrm {d} {\bigl (}e^{-t^{2}}{\bigr )}$
	$=-\,{\frac {1}{2h^{2}{\sqrt {\pi }}}}\,\left\{\left[te^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t\right\}$
	$={\frac {1}{2h^{2}}}$ .