Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.2

by Maurizio Loreti

5.2 Speranza matematica

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.2 Speranza matematica

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5.2 Speranza matematica

Come sappiamo dal paragrafo 4.2.6, il valore medio della variabile $x$ su di un campione finito e dato dall’equazione

${\bar {x}}=\sum \nolimits _{i}f_{i}x_{i}$

dove la sommatoria si intende estesa a tutti i valori che la $x$ può assumere, essendo nulle le frequenze di quelli che non si sono effettivamente presentati; definiamo in maniera analoga una nuova grandezza $E(x)$, relativa all’intera popolazione, mediante la

$E(x)=\sum \nolimits _{i}p_{i}x_{i}$.

(5.1)

$E(x)$ (che si chiama speranza matematica della variabile casuale $x$) ci appare quindi come una generalizzazione alla popolazione del concetto di media aritmetica e, se si assumesse come definizione di probabilità quella empirica, sarebbe in base ad essa il limite (statistico) del valore medio del campione all’aumentare della sua dimensione; per cui lo chiameremo anche, meno appropriatamente, valore medio di x sull’intera popolazione.

È da notare come non ci sia alcuna garanzia dell’esistenza di $E(x)$ se l’insieme dei possibili valori $x_{i}$ non è finito (in particolare se $x$ è una variabile continua); in effetti esistono delle distribuzioni di probabilità usate anche in fisica (ad esempio la distribuzione di Cauchy che studieremo più avanti nel paragrafo 8.3) per le quali la sommatoria della (5.1) non converge, e che non ammettono quindi speranza matematica.

La speranza matematica per la variabile casuale ${\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}$ (ossia la generalizzazione alla popolazione della varianza di un campione) si indica poi col simbolo $~\mathrm {Var} (x)$:

$\mathrm {Var} (x)=E\left\{\left[x-E(x)\right]^{2}\right\}=\sum \nolimits _{i}p_{i}\left[x_{i}-E(x)\right]^{2}$,

e ad essa ci riferiremo come varianza della popolazione della variabile casuale $x$; come $E(x)$, e per gli stessi motivi, anchʼessa potrebbe non esistere per quelle variabili che assumono un numero infinito di possibili valori.

Le considerazioni dei paragrafi seguenti si applicano ovviamente solo a popolazioni di variabili casuali per le quali esista finita la speranza matematica e, qualora la si consideri, la varianza. Inoltre non useremo mai la definizione empirica di probabilità, ma quella assiomatica; e vedremo come, partendo da essa, si possa dimostrare la legge detta “dei grandi numeri” già enunciata nel paragrafo 3.5: ossia la convergenza, allʼaumentare del numero di prove effettuate, della frequenza di un qualsiasi evento casuale alla sua probabilità.