Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.3

by Maurizio Loreti

5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari

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5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari

Consideriamo due variabili casuali $x$ e $y$, aventi speranza matematica $E(x)$ ed $E(y)$ rispettivamente; ed una loro qualsiasi combinazione lineare a coefficienti costanti $z=ax+by$. Vogliamo dimostrare ora che la speranza matematica della nuova variabile $z$ esiste, ed è data dalla combinazione lineare delle speranze matematiche di $x$ e di $y$ con gli stessi coefficienti $a$ e $b$.

Indichiamo con $x_{j}$ i possibili valori della prima variabile, e con $y_{k}$ quelli della seconda; indichiamo poi con $p_{j}$ e $q_{k}$ le probabilità di ottenere un determinato valore rispettivamente per la $x$ e per la $y$. Chiamiamo poi $P_{jk}$ la probabilità che simultaneamente si abbia $x=x_{j}$ ed $y=y_{k}$; un particolare valore per la $x$ potrà essere associato ad uno qualsiasi dei diversi valori della $y$, che sono tra loro mutuamente esclusivi: in definitiva, applicando la legge della probabilità totale (equazione (3.2)) risulterà

$p_{j}=\sum \nolimits _{k}P_{jk}$

e

$q_{k}=\sum \nolimits _{j}P_{jk}$.

Per la speranza matematica $E(z)$ di $z$ avremo poi

$~E(ax+by)$	$=$	$\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}aP_{jk}x_{j}+\sum \nolimits _{jk}bP_{jk}y_{k}$
	$=$	$a\sum \nolimits _{j}\left(\sum \nolimits _{k}P_{jk}\right)x_{j}+b\sum \nolimits _{k}\left(\sum \nolimits _{j}P_{jk}\right)y_{k}$
	$=$	$a\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}+b\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$
	$=$	$aE(x)+bE(y)~$.

È immediato poi estendere, per induzione completa, questa dimostrazione alla combinazione lineare di un numero qualsiasi di variabili casuali: se abbiamo

$F=ax+by+cz+\cdots$

allora

$E(F)=aE(x)+bE(y)+cE(z)+\cdots ~$.

(5.2)

Una importante conseguenza può subito essere ricavata applicando l’equazione (5.2) alla media aritmetica ${\bar {x}}$ di un campione di $N$ misure: essa infatti si può considerare come una particolare combinazione lineare delle misure stesse, con coefficienti tutti uguali tra loro e pari ad $1/N$.

Prendendo dalla popolazione un differente campione di $N$ misure, la loro media aritmetica ${\bar {x}}$ sarà anch’essa in generale diversa: quale sarà la speranza matematica di ${\bar {x}}$, ovverosia il valore medio delle varie ${\bar {x}}$ su un numero molto elevato di campioni di $N$ misure estratti a caso dalla popolazione — e, al limite, su tutti i campioni (aventi la stessa dimensione fissa $N$) che dalla popolazione è possibile ricavare?

$E\left({\bar {x}}\right)$	$=E\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)$
	$={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}E\left(x_{i}\right)$
	$={\frac {1}{N}}\cdot NE(x)$

ed infine

$E\left({\bar {x}}\right)=E(x)$

(5.3)

cioè:

Il valore medio della popolazione delle medie aritmetiche dei campioni di dimensione finita N estratti da una popolazione coincide con il valore medio della popolazione stessa.