Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.1

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

9.1 La funzione di Gauss

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9.1 La funzione di Gauss

Dall’esame di molte distribuzioni sperimentali di valori ottenuti per misure ripetute in condizioni omogenee, si possono astrarre due proprietà generali degli errori casuali:

La probabilità di ottenere un certo scarto dal valore vero deve essere funzione del modulo di tale scarto e non del suo segno, se valori in difetto ed in eccesso rispetto a quello vero si presentano con uguale probabilità; in definitiva la distribuzione degli scarti deve essere simmetrica rispetto allo zero.

La probabilità di ottenere un certo scarto dal valore vero (in modulo) deve essere decrescente al crescere di tale scarto e tendere a zero quando esso tende all’infinito; questo perché deve essere più probabile commettere errori piccoli che errori grandi, ed infinitamente improbabile commettere errori infinitamente grandi. [p. 142 modifica]

A queste due ipotesi sulla distribuzione delle misure affette da errori puramente casuali se ne può aggiungere una terza, valida per tutte le distribuzioni di probabilità; la condizione di normalizzazione, ossia l’equazione (6.1) di cui abbiamo già parlato prima:

L’area compresa tra la curva densità di probabilità dello scarto e l’asse delle ascisse, da $-\infty$ a $+\infty$ , deve valere 1.

Da queste tre ipotesi e dal principio della media aritmetica, Gauss¹ dimostrò in modo euristico che la distribuzione degli scarti z delle misure affette da errori casuali è data dalla funzione

f(z)={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}z^{2}}

(9.1)

che da lui prese il nome (funzione di Gauss o legge normale di distribuzione degli errori). Si deve originalmente a Laplace una prova più rigorosa ed indipendente dall’assunto della media aritmetica; una versione semplificata di questa dimostrazione è data nell’appendice D.

La funzione di Gauss ha una caratteristica forma a campana: simmetrica rispetto all’asse delle ordinate (di equazione $z=0$ ), decrescente man mano che ci si allontana da esso sia nel senso delle z positive che negative, e tendente a 0 per z che tende a $\pm \infty$ ; così come richiesto dalle ipotesi di partenza.

Essa dipende da un parametro $h>0$ che prende il nome di modulo di precisione della misura: infatti quando h è piccolo la funzione è sensibilmente diversa da zero in una zona estesa dell’asse delle ascisse; mentre al crescere di h l’ampiezza di tale intervallo diminuisce, e la curva si stringe sull’asse delle ordinate (come si può vedere nella figura 9a).

Note

↑ Karl Friedrich Gauss fu senza dubbio la maggiore personalità del primo 800 nel campo della fisica e della matematica; si occupò di teoria dei numeri, analisi, geometria analitica e differenziale, statistica e teoria dei giochi, geodesia, elettricità e magnetismo, astronomia e ottica. Visse a Göttingen dal 1777 al 1855 e, nel campo di cui ci stiamo occupando, teorizzò (tra le altre cose) la funzione normale ed il metodo dei minimi quadrati, quest'ultimo (studiato anche da Laplace) all’età di soli 18 anni.

[1] Karl Friedrich Gauss fu senza dubbio la maggiore personalità del primo 800 nel campo della fisica e della matematica; si occupò di teoria dei numeri, analisi, geometria analitica e differenziale, statistica e teoria dei giochi, geodesia, elettricità e magnetismo, astronomia e ottica. Visse a Göttingen dal 1777 al 1855 e, nel campo di cui ci stiamo occupando, teorizzò (tra le altre cose) la funzione normale ed il metodo dei minimi quadrati, quest'ultimo (studiato anche da Laplace) all’età di soli 18 anni.

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