Teoria degli errori e fondamenti di statistica/9.4

by Maurizio Loreti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

9.4 Il significato geometrico di σ

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9.4 Il significato geometrico di $\sigma$

Calcoliamo ora la derivata prima della funzione di Gauss, nella sua forma (9.2):

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=-\,{\frac {z}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

La funzione $f(z)$ è crescente ($f'(z)>0$) quando z è negativa, e viceversa; ha quindi un massimo per $z=0$, come d’altronde richiesto dalle ipotesi fatte nel paragrafo 9.1 per ricavarne la forma analitica. La derivata seconda invece vale

${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}$	$=-\,{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,-\,{\frac {z}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(-\,{\frac {z}{\sigma ^{2}}}\right)$
	$={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left({\frac {z^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)$

e si annulla quando $z=\pm \sigma$.

Da qui si può allora ricavare il significato geometrico dell’errore quadratico medio $\sigma$ in relazione alla distribuzione normale:

L’errore quadratico medio $\sigma$ può essere interpretato geometricamente come valore assoluto delle ascisse dei due punti di flesso della curva di Gauss.