Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.7

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5.7 Valore medio e valore vero

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5.7 Valore medio e valore vero

Anche se non ci basiamo sulla definizione empirica di probabilità, ma su quella assiomatica, possiamo ora presupporre la convergenza della media aritmetica dei campioni di misure alla speranza matematica della grandezza misurata, che ora a buon diritto possiamo chiamare “valore medio del risultato della misura sullʼintera popolazione”.

Si può ora meglio precisare la distinzione fra errori casuali ed errori sistematici: i primi, visto che possono verificarsi con uguale probabilità in difetto ed in eccesso rispetto al valore vero, avranno valore medio nullo; mentre errori sistematici causeranno invece per definizione una differenza tra il valore medio delle misure ed il valore vero. In assenza di errori sistematici assumiamo allora che valore medio e valore vero coincidano: ammettiamo insomma (lo proveremo più avanti per la distribuzione normale) che in tal [p. 59 modifica]caso esista e sia uguale a . Sappiamo insomma che risulta



e postuliamo che


inoltre sappiamo anche che


Ossia, non solo converge ad allʼaumentare della dimensione del campione; ma, qualunque sia il valore di questʼultima grandezza, mediamente coincide con . Ripetendo varie volte la misura ed ottenendo così più campioni con differenti medie aritmetiche, dando come stima di la media di uno dei nostri campioni avremo insomma la stessa probabilità di sbagliare per difetto o per eccesso1.

Note

  1. Questo nella terminologia statistica si esprime dicendo che la media dei campioni è una stima imparziale della media della popolazione; al contrario della varianza del campione che, come vedremo nel prossimo paragrafo, è una stima parziale (o distorta) della varianza della popolazione (il concetto verrà poi approfondito nel paragrafo 11.1).