Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.8

by Maurizio Loreti

5.8 Scarto ed errore quadratico medio

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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5.8 Scarto ed errore quadratico medio

Lʼultimo punto da approfondire riguarda la relazione tra la varianza $s^{2}$ di un campione di $N$ misure e quella $\sigma ^{2}$ della popolazione da cui il campione proviene. Ora, $s^{2}$ si può esprimere come

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}$

e possiamo osservare che (per qualsiasi numero $x^{*}$ e quindi anche per lʼincognito valore vero) vale la seguente relazione matematica:

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-x^{*}\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\bigl [}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)+\left({\bar {x}}-x^{*}\right){\bigr ]}^{2}$
$={\frac {1}{N}}\left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}+\sum _{i=1}^{N}\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}+2\left({\bar {x}}-x^{*}\right)\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\right]$
$={\frac {1}{N}}\left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}+N\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}\right]$
$=s^{2}+\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}$	(5.12)

(si è sfruttata qui lʼequazione (4.2), secondo la quale la somma algebrica degli scarti delle misure dalla loro media aritmetica è identicamente nulla; vedi anche lʼanaloga formula (4.3) nel paragrafo 4.2.3).

Cerchiamo ora di capire come le varianze $s^{2}$ dei campioni di dimensione $N$ siano legate allʼanaloga grandezza, $\sigma ^{2}$ o $\mathrm {Var} (x)$, definita sullʼintera popolazione, e però calcolata rispetto al valore medio di essa, $E(x)=x^{*}$:

$\sigma ^{2}=E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}=E\left\{\left(x-x^{*}\right)^{2}\right\}.$

Sfruttando la relazione (5.12) in precedenza trovata, si ha

$s^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-x^{*}\right)^{2}-\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}$

e prendendo i valori medi di entrambi i membri (sugli infiniti campioni di dimensione $N$ che si possono pensare estratti in modo casuale dalla popolazione originaria), otteniamo

$E(s^{2})=\sigma ^{2}-E\left\{\left({\bar {x}}-x^{*}\right)^{2}\right\}$.

Ricordando come il valore medio del quadrato degli scarti di una variabile (qui ${\bar {x}}$) dal suo valore medio (che è $E({\bar {x}})=E(x)=x^{*}$) sia per definizione la varianza della variabile stessa (che indicheremo qui come quadrato dellʼerrore quadratico medio $\sigma _{\bar {x}}$), si ricava infine:

$E(s^{2})=\sigma ^{2}-{\sigma _{\bar {x}}}^{2}<\sigma ^{2}$.

(5.13)

Insomma:

• Il valore medio della varianza $s^{2}$ di un campione è sistematicamente inferiore allʼanaloga grandezza $\sigma ^{2}$ che si riferisce allʼintera popolazione.
• La differenza tra la varianza della popolazione $\sigma ^{2}$ e la varianza di un campione di N misure da essa estratto è in media pari alla varianza della media del campione.