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Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.8

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5.8 Scarto ed errore quadratico medio

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5.8 Scarto ed errore quadratico medio

Lʼultimo punto da approfondire riguarda la relazione tra la varianza di un campione di misure e quella della popolazione da cui il campione proviene. Ora, si può esprimere come


e possiamo osservare che (per qualsiasi numero e quindi anche per lʼincognito valore vero) vale la seguente relazione matematica: [p. 60 modifica]

(5.12)

(si è sfruttata qui lʼequazione (4.2), secondo la quale la somma algebrica degli scarti delle misure dalla loro media aritmetica è identicamente nulla; vedi anche lʼanaloga formula (4.3) nel paragrafo 4.2.3).

Cerchiamo ora di capire come le varianze dei campioni di dimensione siano legate allʼanaloga grandezza, o , definita sullʼintera popolazione, e però calcolata rispetto al valore medio di essa, :


Sfruttando la relazione (5.12) in precedenza trovata, si ha


e prendendo i valori medi di entrambi i membri (sugli infiniti campioni di dimensione che si possono pensare estratti in modo casuale dalla popolazione originaria), otteniamo

.

Ricordando come il valore medio del quadrato degli scarti di una variabile (qui ) dal suo valore medio (che è ) sia per definizione la varianza della variabile stessa (che indicheremo qui come quadrato dellʼerrore quadratico medio ), si ricava infine:

. (5.13)

Insomma:

  • Il valore medio della varianza di un campione è sistematicamente inferiore allʼanaloga grandezza che si riferisce allʼintera popolazione.
  • La differenza tra la varianza della popolazione e la varianza di un campione di N misure da essa estratto è in media pari alla varianza della media del campione.