Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.9

by Maurizio Loreti

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.9 Stima della varianza della popolazione

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5.9 Stima della varianza della popolazione

Vediamo ora come si può stimare la varianza dell’insieme delle infinite misure che possono essere fatte di una grandezza fisica a partire da un particolare campione di $N$ misure. Riprendiamo l’equazione (5.13); in essa abbiamo già dimostrato che

$E(s^{2})=\sigma ^{2}-{\sigma _{\bar {x}}}^{2}$

e sappiamo dalla (5.6) che la varianza della media del campione vale

${\sigma _{\bar {x}}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$.

Risulta pertanto

$~E(s^{2})={\frac {N-1}{N}}\sigma ^{2}~$

e quindi

Mediamente la varianza di un campione di N misure è inferiore alla varianza della intera popolazione per un fattore $(N-1)/N$.

Questo è il motivo per cui, per avere una stima imparziale (ossia mediamente corretta) di $\sigma$, si usa (come già anticipato) la quantità $\mu$ definita attraverso la

$\mu ^{2}={\frac {N}{N-1}}s^{2}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}{N-1}}$,

quantità il cui valore medio su infiniti campioni risulta proprio $\sigma ^{2}$.